微分積分例

$y = t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3})$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (t) = t^{7}$ および $g (t) = {(t^{5} - 6)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{7} \frac{d}{d t} [{(t^{5} - 6)}^{3}] + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.2

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = t^{5} - 6$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{5} - 6$ とします。

$t^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $t^{5} - 6$ で置き換えます。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $t^{5} - 6$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6]$ です。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.3.3

$- 6$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + 0)) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$5 t^{4}$ と $0$ をたし算します。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4})) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.3.4.2

$5$ に $3$ をかけます。

$t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2} t^{4}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.4

指数を足して $t^{7}$ に $t^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$t^{4}$ を移動させます。

$t^{4} t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$t^{4 + 7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.4.3

$4$ と $7$ をたし算します。

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

ステップ 3.5

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} (7 t^{6})$

ステップ 3.6

$7$ を ${(t^{5} - 6)}^{3}$ の左に移動させます。

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 \cdot {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ を $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ を $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2})$ で因数分解します。

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

ステップ 3.7.1.2

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ を $7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ で因数分解します。

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.1.3

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ を $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$ で因数分解します。

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15) + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.2

$15$ を $t^{5}$ の左に移動させます。

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.3

${(t^{5} - 6)}^{2}$ を $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ に書き換えます。

$t^{6} ((t^{5} - 6) (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.4

分配法則（FOIL法）を使って $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1

分配則を当てはめます。

$t^{6} (t^{5} (t^{5} - 6) - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.4.2

分配則を当てはめます。

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.4.3

分配則を当てはめます。

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.1.1

指数を足して $t^{5}$ に $t^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$t^{6} (t^{5 + 5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.5.1.1.2

$5$ と $5$ をたし算します。

$t^{6} (t^{10} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.5.1.2

$- 6$ を $t^{5}$ の左に移動させます。

$t^{6} (t^{10} - 6 \cdot t^{5} - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.5.1.3

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$t^{6} (t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.5.2

$- 6 t^{5}$ から $6 t^{5}$ を引きます。

$t^{6} (t^{10} - 12 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.6

分配則を当てはめます。

$(t^{6} t^{10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.1

指数を足して $t^{6}$ に $t^{10}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.7.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(t^{6 + 10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.7.1.2

$6$ と $10$ をたし算します。

$(t^{16} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.7.3

$36$ を $t^{6}$ の左に移動させます。

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.8

指数を足して $t^{6}$ に $t^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.8.1

$t^{5}$ を移動させます。

$(t^{16} - 12 (t^{5} t^{6}) + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(t^{16} - 12 t^{5 + 6} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.8.3

$5$ と $6$ をたし算します。

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

ステップ 3.7.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.9.1

分配則を当てはめます。

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} + 7 \cdot - 6)$

ステップ 3.7.9.2

$7$ に $- 6$ をかけます。

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} - 42)$

ステップ 3.7.10

$15 t^{5}$ と $7 t^{5}$ をたし算します。

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$

ステップ 3.7.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$ を展開します。

$t^{16} (22 t^{5}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.12.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$22 t^{16} t^{5} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.2

指数を足して $t^{16}$ に $t^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.12.2.1

$t^{5}$ を移動させます。

$22 (t^{5} t^{16}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 t^{5 + 16} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.2.3

$5$ と $16$ をたし算します。

$22 t^{21} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.3

$- 42$ を $t^{16}$ の左に移動させます。

$22 t^{21} - 42 \cdot t^{16} - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{11} t^{5} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.5

指数を足して $t^{11}$ に $t^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.12.5.1

$t^{5}$ を移動させます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 (t^{5} t^{11}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{5 + 11} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.5.3

$5$ と $11$ をたし算します。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.6

$- 12$ に $22$ をかけます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.7

$- 42$ に $- 12$ をかけます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{6} t^{5} + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.9

指数を足して $t^{6}$ に $t^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.12.9.1

$t^{5}$ を移動させます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 (t^{5} t^{6}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{5 + 6} + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.9.3

$5$ と $6$ をたし算します。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.10

$36$ に $22$ をかけます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

ステップ 3.7.12.11

$- 42$ に $36$ をかけます。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

ステップ 3.7.13

$- 42 t^{16}$ から $264 t^{16}$ を引きます。

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

ステップ 3.7.14

$504 t^{11}$ と $792 t^{11}$ をたし算します。

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

微分積分 例

微分積分例