微分積分例

$x = 3 y^{2} - 4 y$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$3 y^{2} - 4 y$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = - 4$

$c = 0$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{3}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{2}{3}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.6.1

$4$ を $4 \cdot 3$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (3)}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{3}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$0$ から $\frac{4}{3}$ を引きます。

$e = - \frac{4}{3}$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$ に代入します。

$3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$

ステップ 1.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = 3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$

ステップ 1.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 3$

$h = - \frac{4}{3}$

$k = \frac{2}{3}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.5.3

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{12}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = \frac{2}{3}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{17}{12}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

焦点： $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

対称軸： $y = \frac{2}{3}$

準線： $x = - \frac{17}{12}$

方向：右に開

頂点： $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

焦点： $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

対称軸： $y = \frac{2}{3}$

準線： $x = - \frac{17}{12}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

$x$ 値の $- 0.\overline{3}$ を $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ に代入します。この場合、点は $(- 0.33333333, \frac{2 + \sqrt{3}}{3})$ です。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $- 0.\overline{3}$ で置換えます。

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot - 0.\overline{3})}}{3}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$- 3$ に $- 0.\overline{3}$ をかけます。

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 + 1)}}{3}$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 3}}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{2 + \sqrt{3}}{3}$ です。

$y = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2

$x$ 値の $- 0.\overline{3}$ を $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ に代入します。この場合、点は $(- 0.33333333, \frac{2 - \sqrt{3}}{3})$ です。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $- 0.\overline{3}$ で置換えます。

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot - 0.\overline{3})}}{3}$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$- 3$ に $- 0.\overline{3}$ をかけます。

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 + 1)}}{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 3}}{3}$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2.2.2

最終的な答えは $\frac{2 - \sqrt{3}}{3}$ です。

$y = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3

$x$ 値の $0.\overline{6}$ を $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ に代入します。この場合、点は $(0.\overline{6}, \frac{2 + \sqrt{6}}{3})$ です。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $0.\overline{6}$ で置換えます。

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot 0.\overline{6})}}{3}$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$- 3$ に $0.\overline{6}$ をかけます。

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 2)}}{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$- 4$ から $2$ を引きます。

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 6}}{3}$

ステップ 2.3.2.1.3

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.3.2.2

最終的な答えは $\frac{2 + \sqrt{6}}{3}$ です。

$y = \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.4

$x$ 値の $0.\overline{6}$ を $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ に代入します。この場合、点は $(0.\overline{6}, \frac{2 - \sqrt{6}}{3})$ です。

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ステップ 2.4.1

式の変数 $x$ を $0.\overline{6}$ で置換えます。

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot 0.\overline{6})}}{3}$

ステップ 2.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$- 3$ に $0.\overline{6}$ をかけます。

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 2)}}{3}$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 4$ から $2$ を引きます。

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 6}}{3}$

ステップ 2.4.2.1.3

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.4.2.2

最終的な答えは $\frac{2 - \sqrt{6}}{3}$ です。

$y = \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ - 0.333 & 1.24 \\ - 0.333 & 0.09 \\ 0.667 & 1.48 \\ 0.667 & - 0.15 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

焦点： $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

対称軸： $y = \frac{2}{3}$

準線： $x = - \frac{17}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ - 0.333 & 1.24 \\ - 0.333 & 0.09 \\ 0.667 & 1.48 \\ 0.667 & - 0.15 \end{array}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例