微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} - \frac{10}{x^{2} - 25}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{x - 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 25}$ を掛けます。

$lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 25} - \frac{10}{x^{2} - 25}$

ステップ 1.2

$- \frac{10}{x^{2} - 25}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 5}{x - 5}$ を掛けます。

$lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 25} - \frac{10}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 5) (x^{2} - 25)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x - 5}$ に $\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 25}$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{(x - 5) (x^{2} - 25)} - \frac{10}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

ステップ 1.3.2

$\frac{10}{x^{2} - 25}$ に $\frac{x - 5}{x - 5}$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{(x - 5) (x^{2} - 25)} - \frac{10 (x - 5)}{(x^{2} - 25) (x - 5)}$

ステップ 1.3.3

$(x^{2} - 25) (x - 5)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{(x - 5) (x^{2} - 25)} - \frac{10 (x - 5)}{(x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25 - 10 (x - 5)}{(x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25 - 10 (x - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25 - lim_{x \to 5} 10 (x - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25 - lim_{x \to 5} 10 (x - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25 - lim_{x \to 5} 10 (x - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.4

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25 - 10 lim_{x \to 5} x - 5}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25 - 10 (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25 - 10 (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.7

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25 - 10 (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.7.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25 - 10 (5 - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 - 1 \cdot 25 - 10 (5 - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.8.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{25 - 25 - 10 (5 - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.8.1.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{25 - 25 - 10 (5 - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.8.1.4

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{25 - 25 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.8.1.5

$- 10$ に $0$ をかけます。

$\frac{25 - 25 + 0}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.8.2

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.2.8.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5 \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 2.1.3.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25)}$

ステップ 2.1.3.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25)}$

ステップ 2.1.3.6

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25)}$

ステップ 2.1.3.7

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(5 - 1 \cdot 5) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25)}$

ステップ 2.1.3.7.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(5 - 1 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 25)}$

ステップ 2.1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{(5 - 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 25)}$

ステップ 2.1.3.8.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot (5^{2} - 1 \cdot 25)}$

ステップ 2.1.3.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{0 \cdot (25 - 1 \cdot 25)}$

ステップ 2.1.3.8.3.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{0}{0 \cdot (25 - 25)}$

ステップ 2.1.3.8.4

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.8.5

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.8.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25 - 10 (x - 5)}{(x - 5) (x^{2} - 25)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25 - 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25 - 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{2} - 25 - 10 (x - 5)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25] + \frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25] + \frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25] + \frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.4

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 (x - 5)$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x - 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.5.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.5.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.5.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.5.6

$- 10$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

ステップ 2.3.7

$f (x) = x - 5$ および $g (x) = x^{2} - 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25] + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 2.3.8

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 2.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 2.3.10

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) (2 x + 0) + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 2.3.11

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) (2 x) + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 2.3.12

$2$ を $x - 5$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 \cdot (x - 5) x + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 2.3.13

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + (x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

ステップ 2.3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + (x^{2} - 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

ステップ 2.3.15

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + (x^{2} - 25) (1 + 0)}$

ステップ 2.3.16

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + (x^{2} - 25) \cdot 1}$

ステップ 2.3.17

$x^{2} - 25$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(2 x + 2 \cdot - 5) x + x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.18.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.18.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.18.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.18.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.18.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.18.3.5

$2$ に $- 5$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 x^{2} - 10 x + x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.18.3.6

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3.1.2.1.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3.1.2.3.1.2

$- 1$ に $10$ をかけます。

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3.1.2.3.2

$10$ から $10$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x - lim_{x \to 5} 25}$

ステップ 3.1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x - lim_{x \to 5} 25}$

ステップ 3.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 10 x - lim_{x \to 5} 25}$

ステップ 3.1.3.4

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 25}$

ステップ 3.1.3.5

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 25}$

ステップ 3.1.3.6

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.6.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 5^{2} - 10 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 25}$

ステップ 3.1.3.6.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 - 1 \cdot 25}$

ステップ 3.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{3 \cdot 25 - 10 \cdot 5 - 1 \cdot 25}$

ステップ 3.1.3.7.1.2

$3$ に $25$ をかけます。

$\frac{0}{75 - 10 \cdot 5 - 1 \cdot 25}$

ステップ 3.1.3.7.1.3

$- 10$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{75 - 50 - 1 \cdot 25}$

ステップ 3.1.3.7.1.4

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{0}{75 - 50 - 25}$

ステップ 3.1.3.7.2

$75$ から $50$ を引きます。

$\frac{0}{25 - 25}$

ステップ 3.1.3.7.3

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{3 x^{2} - 10 x - 25} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $2 x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

ステップ 3.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

ステップ 3.3.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

ステップ 3.3.4

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

ステップ 3.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

ステップ 3.3.6

総和則では、 $3 x^{2} - 10 x - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 3.3.7

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 3.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 3.3.7.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 3.3.8

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 3.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 3.3.8.3

$- 10$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10 + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 3.3.9

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10 + 0}$

ステップ 3.3.10

$6 x - 10$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10}$

ステップ 3.4

$2$ と $6 x - 10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 (1)}{6 x - 10}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 10}$

ステップ 3.4.2.2

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 5}$

ステップ 3.4.2.3

$2$ を $2 (3 x) + 2 (- 5)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 5)}$

ステップ 3.4.2.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 5)}$

ステップ 3.4.2.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 5} \frac{1}{3 x - 5}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} 3 x - 5}$

ステップ 4.2

$x$ が $5$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 5} 3 x - 5}$

ステップ 4.3

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 5}$

ステップ 4.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

ステップ 4.5

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 5

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3 \cdot 5 - 1 \cdot 5}$

ステップ 6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{15 - 1 \cdot 5}$

ステップ 6.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{15 - 5}$

ステップ 6.3

$15$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{10}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{10}$

10進法形式：

$0.1$

微分積分 例

微分積分例