微分積分例

$y = {(x - 1)}^{2} + 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2} + 1)$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) + 1]$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1]$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1]$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

ステップ 3.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

ステップ 3.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

ステップ 3.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1]$

ステップ 3.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1 + 1]$

ステップ 3.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1 + 1]$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1 + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.5.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.6

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 2 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.6.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 2 + 0 + 0$

ステップ 3.7

項をまとめます。

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ステップ 3.7.1

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 2 + 0$

ステップ 3.7.2

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 2$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 x - 2$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$

微分積分 例

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