微分積分例

$x^{4} + 3 x^{3} y^{2} = x - y^{4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 3 x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x - y^{4})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} + 3 x^{3} y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3} y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.2.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.6

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$4 x^{3} + 3 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.7

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2})$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

ステップ 2.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$4 x^{3} + 6 (x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

ステップ 2.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 y^{2} x^{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $x - y^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- y^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{4}]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [y^{4}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$1 - (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - (4 y^{3} y')$

ステップ 3.2.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 4 y^{3} y'$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$- 4 y^{3} y' + 1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} = - 4 y^{3} y' + 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $4 y^{3} y'$ を足します。

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $4 x^{3}$ を引きます。

$6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3}$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $9 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

ステップ 5.3

$2 y y'$ を $6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 y y'$ を $6 x^{3} y y'$ で因数分解します。

$2 y y' (3 x^{3}) + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

ステップ 5.3.2

$2 y y'$ を $4 y^{3} y'$ で因数分解します。

$2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

ステップ 5.3.3

$2 y y'$ を $2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2})$ で因数分解します。

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

ステップ 5.4

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ の各項を $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ の各項を $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ で割ります。

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.2.3

$3 x^{3} + 2 y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.1.3

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.3.1

$y$ を $- 9 x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.3.2.1

$y$ を $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

微分積分 例

微分積分例