微分積分例

$f (x) = e^{3 x} \ln (2 x^{2} - 2)$

ステップ 1

$f (x) = e^{3 x}$ および $g (x) = \ln (2 x^{2} - 2)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{2} - 2)] + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x^{2} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x^{2} - 2$ とします。

$e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$e^{3 x} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x^{2} - 2$ で置き換えます。

$e^{3 x} (\frac{1}{2 x^{2} - 2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2 x^{2} - 2}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2] + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.6

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x + 0) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7

項を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7.2

$4$ と $\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2}$ をまとめます。

$\frac{4 e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} x + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7.3

$\frac{4 e^{3 x}}{2 x^{2} - 2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 e^{3 x} x}{2 x^{2} - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7.4

$4$ と $2 x^{2} - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.4.1

$2$ を $4 e^{3 x} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 x^{2} - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.4.2.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2}) - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7.4.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7.4.2.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2} - 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7.4.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2} - 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 3.7.4.2.5

式を書き換えます。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} \cdot 3)$

ステップ 5.3.2

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (3 \cdot e^{3 x})$

ステップ 6

$\ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ を掛けます。

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 e^{3 x} x + 3 \ln (2 x^{2} - 2) e^{3 x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

ステップ 8.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (2 x^{2} - 2)$ を簡約します。

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

ステップ 8.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 8.1.1.4

$- 1$ を $\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - 1 \cdot (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})}{x^{2} - 1}$

ステップ 8.1.1.5

$- 1 (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})$ を $- (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})$ に書き換えます。

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}}{x^{2} - 1}$

ステップ 8.1.2

$2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x e^{3 x} + x^{2} e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) - e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3})}{x^{2} - 1}$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{3 x} x + e^{3 x} x^{2} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) - e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3})}{x^{2} - 1}$

微分積分 例

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