微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{5 x^{3} - 4 x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - lim_{x \to 0} 4 x}$

ステップ 1.1.3.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 4 x}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 4 x}$

ステップ 1.1.3.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3} - 4 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{5 \cdot 0 - 4 \cdot 0}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 - 4 \cdot 0}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.1.3.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{5 x^{3} - 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3.6

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $5 x^{3} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}$

ステップ 1.3.8.3

$3$ に $5$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.9.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{15 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{15 x^{2} - 4 \cdot 1}$

ステップ 1.3.9.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{15 x^{2} - 4}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{15 x^{2} - 4}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$3 \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 15 x^{2} - 4}$

ステップ 2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$3 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 15 x^{2} - 4}$

ステップ 2.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 15 x^{2} - 4}$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 15 x^{2} - lim_{x \to 0} 4}$

ステップ 2.6

$15$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{15 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4}$

ステップ 2.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}$

ステップ 2.8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{15 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$3 \frac{\cos (0)}{15 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$3 \frac{1}{15 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \frac{1}{15 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.2.2

$15$ に $0$ をかけます。

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$3 \frac{1}{0 - 4}$

ステップ 4.2.4

$0$ から $4$ を引きます。

$3 (\frac{1}{- 4})$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{1}{4})$

ステップ 4.4

$3 (- \frac{1}{4})$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{4})$

ステップ 4.4.2

$- 3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{4}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{3}{4}$

10進法形式：

$- 0.75$

微分積分 例

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