微分積分例

$2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 1.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.3.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.3.9

$3$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 1.1.3.10

$2$ に $3$ をかけます。

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.12

$3$ を $6$ で因数分解します。

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 1.1.3.13.2

共通因数を約分します。

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.13.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ です。

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.4

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.4.1

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ として書き換えます。

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

ステップ 2.5.2

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 2.5.2.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

$2$ を $- 2$ で割ります。

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

ステップ 2.5.3

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.5.4

指数を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.5.4.1.1.2

簡約します。

$x = {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x = - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 3.2

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$- 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.1.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

式を書き換えます。

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 2 + 3 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.6

$3$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 3$

ステップ 4.1.2.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 (0) + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$0 + 3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$0 + 3 \cdot 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 3 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.1.6

$3$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 1), (0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例