微分積分例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.3.2

$4 x^{3} - 12 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 12 x^{2}$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$4 x^{2}$ を $4 x^{3} - 12 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$4 x^{2}$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

ステップ 2.2.3

$4 x^{2}$ を $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

最終解は $4 x^{2} (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 7$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 {(0)}^{3} + 7$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 \cdot 0 + 7$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 7$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 7$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $7$ をたし算します。

$7$

ステップ 4.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 7$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$81 - 4 {(3)}^{3} + 7$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$81 - 4 \cdot 27 + 7$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 4$ に $27$ をかけます。

$81 - 108 + 7$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$81$ から $108$ を引きます。

$- 27 + 7$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 27$ と $7$ をたし算します。

$- 20$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 7), (3, - 20)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例