微分積分例

$\frac{lim_{x \to 1} u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

ステップ 1

$x$ が $1$ に近づくと定数である $u^{4} - 1$ の極限値を求めます。

$\frac{u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

ステップ 2

答えを簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$u^{4}$ を ${(u^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1}{u^{3} - 1}$

ステップ 2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1^{2}}{u^{3} - 1}$

ステップ 2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1)}{u^{3} - 1}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1^{2})}{u^{3} - 1}$

ステップ 2.1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1}$

ステップ 2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1^{3}}$

ステップ 2.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$u$ に $1$ をかけます。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1^{2})}$

ステップ 2.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

ステップ 2.3

$u - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1)}{u^{2} + u + 1}$

微分積分 例

微分積分例