微分積分例

$\int \ln (x^{2} + 16) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x^{2} + 16)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x^{2} + 16) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 16} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ と $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ をまとめます。

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 16} d x$

ステップ 2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 16} d x$

ステップ 2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 16} d x$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 16} d x$

ステップ 2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (x^{2} + 16) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 16} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x^{2} + 16) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 16} d x)$

ステップ 4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 16} d x$

ステップ 5

$x^{2}$ を $x^{2} + 16$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 5.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$16$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$16$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$16$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 16$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$16$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$16$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$16$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$16$
									-	$16$

ステップ 5.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 \int 1 - \frac{16}{x^{2} + 16} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (\int d x + \int - \frac{16}{x^{2} + 16} d x)$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C + \int - \frac{16}{x^{2} + 16} d x)$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - \int \frac{16}{x^{2} + 16} d x)$

ステップ 9

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - (16 \int \frac{1}{x^{2} + 16} d x))$

ステップ 10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 \int \frac{1}{x^{2} + 16} d x)$

ステップ 10.2

$x^{2}$ と $16$ を並べ替えます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 \int \frac{1}{16 + x^{2}} d x)$

ステップ 10.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 \int \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x)$

ステップ 11

$\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4}) + C$ です。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 (\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4}) + C))$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{4}$ と $\arctan (\frac{x}{4})$ をまとめます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x + C - 16 (\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4} + C))$

ステップ 12.2

簡約します。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x - 4 \arctan (\frac{x}{4})) + C$

ステップ 12.3

項を並べ替えます。

$\ln (x^{2} + 16) x - 2 (x - 4 \arctan (\frac{1}{4} x)) + C$

微分積分 例

微分積分例