微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{4 - 3})}{h}$

ステップ 1

$4$ から $3$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$h$ を $0$ に代入し、 $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - \sqrt{4 - (3 + 0)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 - \sqrt{4 - 1 \cdot 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{5 - \sqrt{4 - 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2.3

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{5 - \sqrt{1} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{5 - 1 \cdot 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 - 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2.6

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.6.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{5 - 1 - (5 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 - 1 - (5 - 1)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2.7

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{5 - 1 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2.8

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{5 - 1 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.4

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1 \cdot 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3

$5$ から $1$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.4

総和則では、 $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.5

$5$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6

$\frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - (3 + h)}$ を ${(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.2

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.3

$f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ および $g (h) = 4 - (3 + h)$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.6.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - (3 + h)$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.3.3

$u$ のすべての発生を $4 - (3 + h)$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.4

総和則では、 $4 - (3 + h)$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.5

$4$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.6

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- (3 + h)$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [3 + h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [3 + h])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.7

総和則では、 $3 + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.8

$3$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.12

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.13

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.14

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.15

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.17

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.18

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.19

$\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.20

$- 1$ を ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.21

$- 1 {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.22

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.23

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.24

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6.25

$\frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.7

$\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.7.2

$- 4$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 1 \cdot 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.8.2

項をまとめます。

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ステップ 2.3.8.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.8.2.2

$4$ から $3$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.8.2.3

$0$ と $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.8.2.4

$\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.5

${(1 - h)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 - h}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}} \cdot 1$

ステップ 2.6

$\frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - h}}$

ステップ 3.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

ステップ 3.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

ステップ 3.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - h}}$

ステップ 3.5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} h}}$

ステップ 3.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} h}}$

ステップ 3.7

項を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 3.7.2

答えを簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.7.2.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 3.7.2.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 3.7.2.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 3.7.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 3.7.2.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例