微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} 2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\tan (2 lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\tan (2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\tan (2 x)$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

$\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\tan (2 x) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\tan (2 x)$ から $\tan (2 x)$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (h) = \tan (h)$ および $g (h) = 2 (x + h)$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 (x + h)$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 (x + h)$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2

$2$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $2 (x + h)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d h} [x + h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $x + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.4

$x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.8

$2$ を $\sec^{2} (2 (x + h))$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

$- \tan (2 x)$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \tan (2 x)$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.2

$2 \sec^{2} (2 x + 2 h)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.3

正弦と余弦に関して $\sec (2 x + 2 h)$ を書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.4

積の法則を $\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)}$ に当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.5

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.6

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)} \cdot 1$

ステップ 1.5

$\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

ステップ 2.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (2 x + 2 h)$ から極限値外側に移動させます。

$2 \frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (2 x + 2 h))}^{2}}$

ステップ 2.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}$

ステップ 2.6

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

ステップ 2.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

ステップ 2.8

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

ステップ 4.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$ を ${(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$ に書き換えます。

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)}$ を $\sec (2 x + 2 \cdot 0)$ に変換します。

$2 \sec^{2} (2 x + 2 \cdot 0)$

ステップ 4.4

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \sec^{2} (2 x + 0)$

ステップ 4.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \sec^{2} (2 x)$

微分積分 例

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