微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (5 x + 5 h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} 5 x + 5 h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} 5 x + lim_{h \to 0} 5 h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $5 x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (5 x + lim_{h \to 0} 5 h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.5

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (5 x + 5 lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sin (5 x)$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (5 x + 5 lim_{h \to 0} h) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (5 x + 5 \cdot 0) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x + 0) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$5 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sin (5 x) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\sin (5 x)$ から $\sin (5 x)$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (h) = \sin (h)$ および $g (h) = 5 x + 5 h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x + 5 h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [5 x + 5 h] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d h} [5 x + 5 h] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $5 x + 5 h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) \frac{d}{d h} [5 x + 5 h] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2

総和則では、 $5 x + 5 h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [5 x] + \frac{d}{d h} [5 h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (\frac{d}{d h} [5 x] + \frac{d}{d h} [5 h]) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.3

$5 x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $5 x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (0 + \frac{d}{d h} [5 h]) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.4

$5$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $5 h$ の微分係数は $5 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (0 + 5 \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (0 + 5 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.6

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (0 + 5) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.7

$0$ と $5$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) \cdot 5 + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.8

$5$ を $\cos (5 x + 5 h)$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{5 \cos (5 x + 5 h) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

$- \sin (5 x)$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \sin (5 x)$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 \cos (5 x + 5 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

$5 \cos (5 x + 5 h)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{5 \cos (5 x + 5 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{5 \cos (5 x + 5 h)}{1}$

ステップ 1.4

$5 \cos (5 x + 5 h)$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} 5 \cos (5 x + 5 h)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{h \to 0} \cos (5 x + 5 h)$

ステップ 2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$5 \cos (lim_{h \to 0} 5 x + 5 h)$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$5 \cos (lim_{h \to 0} 5 x + lim_{h \to 0} 5 h)$

ステップ 2.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $5 x$ の極限値を求めます。

$5 \cos (5 x + lim_{h \to 0} 5 h)$

ステップ 2.5

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 \cos (5 x + 5 lim_{h \to 0} h)$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$5 \cos (5 x + 5 \cdot 0)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$5$ に $0$ をかけます。

$5 \cos (5 x + 0)$

ステップ 4.2

$5 x$ と $0$ をたし算します。

$5 \cos (5 x)$

微分積分 例

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