微分積分例

$lim_{x \to 8} {(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$ を $e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$

ステップ 1.2

$\csc (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})$ を展開します。

$lim_{x \to 8} e^{\csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

ステップ 2.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

ステップ 2.3

余割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

ステップ 2.4

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \sin (x))}$

ステップ 2.5

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

ステップ 2.6

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

ステップ 2.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

ステップ 3

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

ステップ 3.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\csc (8)$ の値を求めます。

$e^{7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

ステップ 4.2

対数の中の $7.18529653$ を移動させて $7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))$ を簡約します。

$e^{\ln ({(1 + \sin (8))}^{7.18529653})}$

ステップ 4.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(1 + \sin (8))}^{7.18529653}$

ステップ 4.4

$\sin (8)$ の値を求めます。

${(1 + 0.1391731)}^{7.18529653}$

ステップ 4.5

$1$ と $0.1391731$ をたし算します。

${1.1391731}^{7.18529653}$

ステップ 4.6

$1.1391731$ を $7.18529653$ 乗します。

$2.55043306$

微分積分 例

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