微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ を $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

ステップ 1.2

$\tan (2 x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ を展開します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $\frac{π}{4}$ に近づくときの関数 $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.68539816 & - 0.99327506 \\ 0.77539816 & - 0.99993332 \\ 0.78439816 & - 0.99999933 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $\frac{π}{4}$ に近づくので、関数の値は $- 1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $\frac{π}{4}$ に近づくときの $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ の極限は $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $\frac{π}{4}$ に近づくときの関数 $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.88539816 & - 0.99327506 \\ 0.79539816 & - 0.99993332 \\ 0.78639816 & - 0.99999933 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $\frac{π}{4}$ に近づくので、関数の値は $- 1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $\frac{π}{4}$ に近づくときの $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ の極限は $- 1$ です。

$e^{- 1}$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{e}$

10進法形式：

$0.36787944 \dots$

微分積分 例