微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.5.3

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.5.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sin (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

ステップ 1.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $\tan (x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.6

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

ステップ 1.3.8

簡約します。

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ステップ 1.3.8.1

$\sec^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 1.3.8.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 1.3.8.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 1.3.8.4

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

ステップ 2.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

ステップ 3

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

ステップ 3.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

ステップ 3.3

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.5

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 4.6

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.7.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

ステップ 4.7.5

指数を求めます。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

ステップ 4.8

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

ステップ 4.9

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

ステップ 4.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.9.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.9.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.10

$\sqrt{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10進法形式：

$0.70710678 \dots$

微分積分 例

微分積分例