微分積分例

$lim_{x \to 8} \sqrt[4]{\frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

ステップ 1

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt[4]{lim_{x \to 8} \frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

ステップ 4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{\frac{7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

ステップ 5

$81$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

ステップ 6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

ステップ 7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

ステップ 9

$x$ が $8$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

ステップ 10

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

ステップ 10.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{8^{2} + 8}}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 64}{8^{2} + 8}}$

ステップ 11.2

$81$ に $64$ をかけます。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 5184}{8^{2} + 8}}$

ステップ 11.3

$7$ と $5184$ をたし算します。

$\sqrt[4]{\frac{5191}{8^{2} + 8}}$

ステップ 11.4

$8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt[4]{\frac{5191}{64 + 8}}$

ステップ 11.5

$64$ と $8$ をたし算します。

$\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$

ステップ 11.6

$\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$ を $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$

ステップ 11.7

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ に $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$

ステップ 11.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 11.8.1

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ に $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{\sqrt[4]{72} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

ステップ 11.8.2

$\sqrt[4]{72}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

ステップ 11.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1 + 3}}$

ステップ 11.8.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{4}}$

ステップ 11.8.5

${\sqrt[4]{72}}^{4}$ を $72$ に書き換えます。

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ステップ 11.8.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{72}$ を $72^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{(72^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

ステップ 11.8.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

ステップ 11.8.5.3

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

ステップ 11.8.5.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

ステップ 11.8.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{1}}$

ステップ 11.8.5.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72}$

ステップ 11.9

分子を簡約します。

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ステップ 11.9.1

${\sqrt[4]{72}}^{3}$ を $\sqrt[4]{72^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{72^{3}}}{72}$

ステップ 11.9.2

$72$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{373248}}{72}$

ステップ 11.9.3

$373248$ を $12^{4} \cdot 18$ に書き換えます。

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ステップ 11.9.3.1

$20736$ を $373248$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{20736 (18)}}{72}$

ステップ 11.9.3.2

$20736$ を $12^{4}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{12^{4} \cdot 18}}{72}$

ステップ 11.9.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \cdot 12 \sqrt[4]{18}}{72}$

ステップ 11.9.5

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.9.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{12 \sqrt[4]{5191 \cdot 18}}{72}$

ステップ 11.9.5.2

$5191$ に $18$ をかけます。

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{72}$

ステップ 11.10

$12$ と $72$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.10.1

$12$ を $12 \sqrt[4]{93438}$ で因数分解します。

$\frac{12 (\sqrt[4]{93438})}{72}$

ステップ 11.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.10.2.1

$12$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

ステップ 11.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

ステップ 11.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

10進法形式：

$2.91393347 \dots$

微分積分 例

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