微分積分例

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$θ$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$θ$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.1.3

$θ$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.1.4

$θ$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.1.5

$θ$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.1.6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.1.7

$θ$ が $0$ に近づくと定数である $\frac{1}{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.2

$θ$ を $0$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.3.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.2.3.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

ステップ 1.1.3.2

$θ$ を $0$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.1.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ を ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (θ) = θ^{- 1}$ および $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 + \sin (θ)$ とします。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 + \sin (θ)$ で置き換えます。

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $2 + \sin (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.3.4

$2$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.3.5

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.3.6

$0$ と $\cos (θ)$ をたし算します。

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.4

$- \frac{1}{2}$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $- \frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.5.2.1

$\cos (θ)$ と $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ をまとめます。

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.5.2.2

$- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

ステップ 1.3.6

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

ステップ 1.5

$\frac{1}{\cos (θ)}$ に $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ をかけます。

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 1.6

$\cos (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 1.6.2

式を書き換えます。

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $θ$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 2.2

$θ$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 2.3

$θ$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 2.5

$θ$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 2.6

$θ$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

ステップ 2.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

ステップ 3

$θ$ を $0$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

ステップ 4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{4}$

10進法形式：

$- 0.25$

微分積分 例

微分積分例