微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{3 x - 5}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{3 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

ステップ 2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

ステップ 2.2.2

$2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

ステップ 2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

ステップ 2.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

ステップ 2.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

ステップ 4.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

ステップ 4.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 \cdot 0}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{3 - 5 \cdot 0}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{3 + 0}$

ステップ 6.2.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

10進法形式：

$0.47140452 \dots$

微分積分 例

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