微分積分例

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

ステップ 2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

ステップ 3

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

ステップ 4

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

ステップ 5

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

ステップ 6

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

ステップ 6.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$π$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

ステップ 7.2

$\tan (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ です。

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ステップ 7.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 7.2.2

正切半角の公式を当てはめます。

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

ステップ 7.2.3

正切が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

ステップ 7.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

ステップ 7.2.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

ステップ 7.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

ステップ 7.2.4.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 7.2.4.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 7.2.4.6

公分母の分子をまとめます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 7.2.4.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

ステップ 7.2.4.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.8.1

共通因数を約分します。

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

ステップ 7.2.4.8.2

式を書き換えます。

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

ステップ 7.2.4.9

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

ステップ 7.2.4.10

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

ステップ 7.2.4.11

FOIL法を使って分母を展開します。

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

ステップ 7.2.4.12

簡約します。

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.13

分配則を当てはめます。

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.14.1

共通因数を約分します。

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.14.2

式を書き換えます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.15

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.16.1

分配則を当てはめます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.2

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.4.16.2.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.3

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.4.16.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.4.16.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.16.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.3.1.4.2

式を書き換えます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.3.1.5

指数を求めます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.4

$2 \sqrt{2} - 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.16.4.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.4.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

ステップ 7.2.4.16.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.16.4.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

ステップ 7.2.4.16.4.4.2

共通因数を約分します。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

ステップ 7.2.4.16.4.4.3

式を書き換えます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

ステップ 7.2.4.16.4.4.4

$\sqrt{2} - 1$ を $1$ で割ります。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

ステップ 7.2.4.16.5

分配則を当てはめます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

ステップ 7.2.4.16.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

ステップ 7.2.4.17

$2$ と $1$ をたし算します。

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

ステップ 7.2.4.18

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

10進法形式：

$3.31370849 \dots$

微分積分 例

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