微分積分例

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = y^{2}$ および $g (x) = y^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $y^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.6

$2 y y'$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.7

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$y$ を移動させます。

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.7.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.8

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.9

$2$ を $y^{2} - 4$ の左に移動させます。

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.10

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

ステップ 2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

ステップ 2.11.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

ステップ 2.11.3

分配則を当てはめます。

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

ステップ 2.11.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.4.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

ステップ 2.11.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

ステップ 2.11.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

ステップ 2.11.4.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

ステップ 2.11.4.5

$y^{3} (2 y')$ と $2 y^{3} y'$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.4.5.1

$y^{3}$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

ステップ 2.11.4.5.2

$2 \cdot y^{3} y'$ と $2 y^{3} y'$ をたし算します。

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

ステップ 3.6

$2$ を $x^{2} - 5$ の左に移動させます。

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

ステップ 3.7.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

ステップ 3.7.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

ステップ 3.7.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

ステップ 3.7.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

ステップ 3.7.3.4

$2$ に $- 5$ をかけます。

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

ステップ 3.7.3.5

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3} - 10 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$4 y y'$ を $4 y^{3} y' - 8 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$4 y y'$ を $4 y^{3} y'$ で因数分解します。

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

ステップ 5.1.2

$4 y y'$ を $- 8 y y'$ で因数分解します。

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

ステップ 5.1.3

$4 y y'$ を $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ で因数分解します。

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

ステップ 5.2

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ の各項を $4 y (y^{2} - 2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ の各項を $4 y (y^{2} - 2)$ で割ります。

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.3

$y^{2} - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 10$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$2$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.2.1

$2$ を $4 y (y^{2} - 2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

微分積分 例

微分積分例