微分積分例

$x^{2} + y^{3} - x + 5 y = 3$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{3} - x + 5 y) = \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{3} - x + 5 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [5 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 y'$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1$

ステップ 3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1 = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$3 y^{2} y' + 5 y' - 1 = - 2 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 y^{2} y' + 5 y' = - 2 x + 1$

ステップ 5.2

$y'$ を $3 y^{2} y' + 5 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) + 5 y' = - 2 x + 1$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $5 y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5 = - 2 x + 1$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$

ステップ 5.3

$y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ の各項を $3 y^{2} + 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ の各項を $3 y^{2} + 5$ で割ります。

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3 y^{2} + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 x + 1}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) + 1}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 1)}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 5.3.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.5.1

$- (2 x - 1)$ を $- 1 (2 x - 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 5.3.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$

微分積分 例

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