微分積分例

$lim_{x \to 8} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

ステップ 2.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

ステップ 2.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

ステップ 2.4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

ステップ 2.5

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \ln (x))}$

ステップ 2.6

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

ステップ 3

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

ステップ 3.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (8))}$

ステップ 4

$\frac{1}{8}$ と $\ln (\ln (8))$ をまとめます。

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

10進法形式：

$1.09583038 \dots$

微分積分 例

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