微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 4

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 6

$x$ が $8$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 8

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

ステップ 9

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

ステップ 10

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

ステップ 11

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

ステップ 12

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

ステップ 13

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

ステップ 13.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

ステップ 14

答えを簡約します。

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ステップ 14.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

ステップ 14.1.2

$9$ に $64$ をかけます。

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

ステップ 14.1.3

$576$ と $16$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

ステップ 14.1.4

$592$ を $4^{2} \cdot 37$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.4.1

$16$ を $592$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

ステップ 14.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

ステップ 14.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

ステップ 14.2

分母を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$8$ を $3$ 乗します。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

ステップ 14.2.2

$512$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

ステップ 14.2.3

$513$ を $3^{2} \cdot 57$ に書き換えます。

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ステップ 14.2.3.1

$9$ を $513$ で因数分解します。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

ステップ 14.2.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

ステップ 14.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

ステップ 14.3

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ に $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

ステップ 14.4

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ に $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

ステップ 14.5

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

ステップ 14.6

簡約します。

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

ステップ 14.7

$2 - 3 \sqrt{57}$ と $\sqrt{37}$ をまとめます。

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

ステップ 14.8

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

ステップ 14.9

$- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ を掛けます。

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ステップ 14.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

ステップ 14.9.2

$37$ に $57$ をかけます。

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

ステップ 14.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

10進法形式：

$0.98708074 \dots$

微分積分 例

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