微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{4} - 3 x^{2}}{8 x^{4} + 5 x^{2} + 4 x}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{4} - 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 5 x^{2} + 4 x}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{4} - lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 5 x^{2} + 4 x}$

ステップ 3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 5 x^{2} + 4 x}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 5 x^{2} + 4 x}$

ステップ 5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 5 x^{2} + 4 x}$

ステップ 6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 5 x^{2} + 4 x}$

ステップ 7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + lim_{x \to 8} 5 x^{2} + lim_{x \to 8} 4 x}$

ステップ 8

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{8 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 5 x^{2} + lim_{x \to 8} 4 x}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 5 x^{2} + lim_{x \to 8} 4 x}$

ステップ 10

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 4 x}$

ステップ 11

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 4 x}$

ステップ 12

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 8} x}$

ステップ 13

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 13.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 8^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 8} x}$

ステップ 13.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 8^{4} - 3 \cdot 8^{2}}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 8} x}$

ステップ 13.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 8^{4} - 3 \cdot 8^{2}}{8 \cdot 8^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 8} x}$

ステップ 13.4

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 8^{4} - 3 \cdot 8^{2}}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 lim_{x \to 8} x}$

ステップ 13.5

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 8^{4} - 3 \cdot 8^{2}}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

$\frac{4 \cdot 8^{4} - 3 \cdot 8^{2}}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14

答えを簡約します。

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ステップ 14.1

分子を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$8$ を $4$ 乗します。

$\frac{4 \cdot 4096 - 3 \cdot 8^{2}}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.1.2

$4$ に $4096$ をかけます。

$\frac{16384 - 3 \cdot 8^{2}}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.1.3

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{16384 - 3 \cdot 64}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.1.4

$- 3$ に $64$ をかけます。

$\frac{16384 - 192}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.1.5

$16384$ から $192$ を引きます。

$\frac{16192}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

$\frac{16192}{8 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.2

分母を簡約します。

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ステップ 14.2.1

指数を足して $8$ に $8^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

$8$ に $8^{4}$ をかけます。

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ステップ 14.2.1.1.1

$8$ を $1$ 乗します。

$\frac{16192}{8^{1} \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{16192}{8^{1 + 4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

$\frac{16192}{8^{1 + 4} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.2.1.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{16192}{8^{5} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

$\frac{16192}{8^{5} + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.2.2

$8$ を $5$ 乗します。

$\frac{16192}{32768 + 5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.2.3

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{16192}{32768 + 5 \cdot 64 + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.2.4

$5$ に $64$ をかけます。

$\frac{16192}{32768 + 320 + 4 \cdot 8}$

ステップ 14.2.5

$4$ に $8$ をかけます。

$\frac{16192}{32768 + 320 + 32}$

ステップ 14.2.6

$32768$ と $320$ をたし算します。

$\frac{16192}{33088 + 32}$

ステップ 14.2.7

$33088$ と $32$ をたし算します。

$\frac{16192}{33120}$

$\frac{16192}{33120}$

ステップ 14.3

$16192$ と $33120$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1

$736$ を $16192$ で因数分解します。

$\frac{736 (22)}{33120}$

ステップ 14.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.2.1

$736$ を $33120$ で因数分解します。

$\frac{736 \cdot 22}{736 \cdot 45}$

ステップ 14.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{736 \cdot 22}{736 \cdot 45}$

ステップ 14.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{22}{45}$

$\frac{22}{45}$

$\frac{22}{45}$

$\frac{22}{45}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{22}{45}$

10進法形式：

$0.4\overline{8}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$