微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 5 x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 5 x}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 5 x}$

ステップ 1.1.3.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 5} x}$

ステップ 1.1.3.4

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5^{2} - 5 lim_{x \to 5} x}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5^{2} - 5 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{25 - 5 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.5.1.2

$- 5$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{25 - 25}$

ステップ 1.1.3.5.2

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 5 x} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

ステップ 1.3.4

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

ステップ 1.3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x - 5 \cdot 1}$

ステップ 1.3.8.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x - 5}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 5} \frac{x}{2 x - 5}$

ステップ 2.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x - 5}$

ステップ 2.3

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 5}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

ステップ 2.5

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 3

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{5}{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{5}{2 \cdot 5 - 1 \cdot 5}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$5$ と $2 \cdot 5 - 1 \cdot 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $2 \cdot 5$ で因数分解します。

$2 \frac{5}{- (- 2 \cdot 5) - 1 \cdot 5}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $- 1 \cdot 5$ で因数分解します。

$2 \frac{5}{- (- 2 \cdot 5) - 1 (5)}$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を $- (- 2 \cdot 5) - 1 (5)$ で因数分解します。

$2 \frac{5}{- (- 2 \cdot 5 + 5)}$

ステップ 4.1.4

$- (- 2 \cdot 5 + 5)$ を $- 1 (- 2 \cdot 5 + 5)$ に書き換えます。

$2 \frac{5}{- 1 (- 2 \cdot 5 + 5)}$

ステップ 4.1.5

$5$ を $5$ で因数分解します。

$2 \frac{5 \cdot 1}{- 1 (- 2 \cdot 5 + 5)}$

ステップ 4.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$5$ を $- 1 (- 2 \cdot 5 + 5)$ で因数分解します。

$2 \frac{5 \cdot 1}{5 (- 1 (- 2 + 1))}$

ステップ 4.1.6.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{5 \cdot 1}{5 (- 1 (- 2 + 1))}$

ステップ 4.1.6.3

式を書き換えます。

$2 \frac{1}{- 1 (- 2 + 1)}$

ステップ 4.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 2 + 1)}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- \frac{1}{- 2 + 1})$

ステップ 4.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$2 (- \frac{1}{- 1})$

ステップ 4.4

$1$ を $- 1$ で割ります。

$2 (- - 1)$

ステップ 4.5

$2 (- - 1)$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

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