微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} - x}}{x^{3} + 9}$

ステップ 1

$x$ を $9 x^{6} - x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $9 x^{6}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) - x}}{x^{3} + 9}$

ステップ 1.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) + x \cdot - 1}}{x^{3} + 9}$

ステップ 1.3

$x$ を $x (9 x^{5}) + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5} - 1)}}{x^{3} + 9}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{6}} = x^{3}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 3

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 4

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$x$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 5.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{5}$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 7.1.2

$9$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 7.2

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 7.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 7.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{5}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 9.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 9.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

ステップ 9.4

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 \cdot 0}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

$9 - 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{9 - 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

ステップ 11.2

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

ステップ 11.2.2

$9$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{9}}{1 + 9 \cdot 0}$

ステップ 11.2.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 + 9 \cdot 0}$

ステップ 11.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3}{1 + 9 \cdot 0}$

ステップ 11.3

分母を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$9$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{1 + 0}$

ステップ 11.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{1}$

ステップ 11.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3$

微分積分 例

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