微分積分例

$x^{3} + 36 x^{2}$

ステップ 1

$x^{3} + 36 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 36 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x^{2}$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 36 (2 x)$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $36$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 72 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $3 x^{2} + 72 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x]$

ステップ 2.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [72 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [72 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $72 x$ の微分係数は $72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 72 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 72 \cdot 1$

ステップ 2.2.3.3

$72$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + 72$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x + 72$ です。

$6 x + 72$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x + 72 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x + 72 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $72$ を引きます。

$6 x = - 72$

ステップ 3.3

$6 x = - 72$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6 x = - 72$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 72}{6}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 72}{6}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 72}{6}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 72$ を $6$ で割ります。

$x = - 12$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$- 12$ を $f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 12$ で置換えます。

$f (- 12) = {(- 12)}^{3} + 36 {(- 12)}^{2}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 12$ を $3$ 乗します。

$f (- 12) = - 1728 + 36 {(- 12)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 12$ を $2$ 乗します。

$f (- 12) = - 1728 + 36 \cdot 144$

ステップ 4.1.2.1.3

$36$ に $144$ をかけます。

$f (- 12) = - 1728 + 5184$

ステップ 4.1.2.2

$- 1728$ と $5184$ をたし算します。

$f (- 12) = 3456$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $3456$ です。

$3456$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$ で代入して $- 12$ 求めた点は、 $(- 12, 3456)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 12, 3456)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 12)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 12.1$ で置換えます。

$f'' (- 12.1) = 6 (- 12.1) + 72$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$6$ に $- 12.1$ をかけます。

$f'' (- 12.1) = - 72.6 + 72$

ステップ 6.2.2

$- 72.6$ と $72$ をたし算します。

$f'' (- 12.1) = - 0.6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

ステップ 6.3

$- 12.1$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 12)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 12)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 12, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 11.9$ で置換えます。

$f'' (- 11.9) = 6 (- 11.9) + 72$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$6$ に $- 11.9$ をかけます。

$f'' (- 11.9) = - 71.4 + 72$

ステップ 7.2.2

$- 71.4$ と $72$ をたし算します。

$f'' (- 11.9) = 0.6$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

ステップ 7.3

$- 11.9$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(- 12, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 12, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- 12, 3456)$ です。

$(- 12, 3456)$

ステップ 9

微分積分 例

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