微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x$

ステップ 1

掛け算して分子を有理化します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x) (\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{4 x^{2} + 3 x}}^{2} + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (- 2 x) + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (2 x) - 4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 0}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

ステップ 2.2.2

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $4 x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + 3 x} - 2 x}$

ステップ 3.1.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + x \cdot 3} - 2 x}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $x (4 x) + x \cdot 3$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

ステップ 3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

ステップ 4

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = - \sqrt{x^{2}}$ です。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

ステップ 5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

共通因数を約分します。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

ステップ 5.1.2

式を書き換えます。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

ステップ 5.2

$x$ の共通因数を約分します。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} - 2}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

ステップ 7.2

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

ステップ 7.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 7.4

根号の下に極限を移動させます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 8

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 9.1.2

$4$ を $1$ で割ります。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 9.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 9.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 9.4

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 9.5

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 9.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 11

極限を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

ステップ 11.2

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - 1 \cdot 2}$

ステップ 11.3

答えを簡約します。

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ステップ 11.3.1

$4 + 3 \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}$

ステップ 11.3.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.3.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

ステップ 11.3.2.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$3 \frac{1}{- \sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

ステップ 11.3.2.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$3 \frac{1}{- \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

ステップ 11.3.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 11.3.2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 11.3.2.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{1}{- 2 - 2}$

ステップ 11.3.2.7

$- 2$ から $2$ を引きます。

$3 (\frac{1}{- 4})$

ステップ 11.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{1}{4})$

ステップ 11.3.4

$3 (- \frac{1}{4})$ を掛けます。

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ステップ 11.3.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{4})$

ステップ 11.3.4.2

$- 3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{4}$

ステップ 11.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{4}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{3}{4}$

10進法形式：

$- 0.75$

微分積分 例

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