微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} - 1}{4^{x} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 4^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 4^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{4^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{4^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} - 1}{4^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $4^{2 x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [4^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (x) = 4^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{2 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.6

${(2^{2})}^{2 x}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{2 (2 x)} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{4 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$2^{1 + 4 x} \ln (4)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $4^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4) + 0}$

ステップ 1.3.9

$4^{x} \ln (4)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4)}$

ステップ 1.4

$\ln (4)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4)}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x}}{4^{x}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{1 + 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

ステップ 2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{1 + lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

ステップ 2.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2^{1 + 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

ステップ 2.6

指数に極限を移動させます。

$\frac{2^{1 + 4 lim_{x \to 0} x}}{4^{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{1 + 4 \cdot 0}}{4^{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{1 + 4 \cdot 0}}{4^{0}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{2^{1 + 0}}{4^{0}}$

ステップ 4.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2^{1}}{4^{0}}$

ステップ 4.1.3

指数を求めます。

$\frac{2}{4^{0}}$

ステップ 4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{2}{1}$

ステップ 4.3

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

微分積分 例

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