微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1} - 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 4

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 6

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 7

$x$ が $4$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 8

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 9

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 10

$x$ が $4$ に近づくと定数である $2 \sqrt{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 11

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 11.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 12

答えを簡約します。

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ステップ 12.1

分子を簡約します。

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ステップ 12.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 12.1.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 12.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 12.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 12.1.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 12.1.6

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 12.2

$0$ を $\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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