微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $\sqrt{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.5

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.7.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.7

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

ステップ 1.3.9

簡約します。

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ステップ 1.3.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 1.3.9.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.9.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 1.3.9.2.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} 2 x (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} 2 x (2 \sqrt{x})$

ステップ 1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} 4 x \sqrt{x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 1} x \sqrt{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$4 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

ステップ 2.3

根号の下に極限を移動させます。

$4 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \cdot 1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \cdot \sqrt{1}$

ステップ 4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$4 \cdot 1$

ステップ 4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

微分積分 例

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