微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.5

$\frac{d}{d x} [- 144 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 144$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 144 x$ の微分係数は $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.5.3

$- 144$ に $1$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 1.6

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$288$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $288$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

ステップ 1.6.2

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 144]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 96 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 96$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 96 x$ の微分係数は $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.4.3

$- 96$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 144)$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 144$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 144$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + 0$

ステップ 2.5.2

$36 x^{2} + 24 x - 96$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.5

$\frac{d}{d x} [- 144 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.5.1

$- 144$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 144 x$ の微分係数は $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.5.3

$- 144$ に $1$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

ステップ 4.1.6

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.6.1

$288$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $288$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

ステップ 4.1.6.2

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$12$ を $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$12$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$12$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) - 96 x - 144 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$12$ を $- 96 x$ で因数分解します。

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) - 144 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$12$ を $- 144$ で因数分解します。

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$12$ を $12 (x^{3}) + 12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.6

$12$ を $12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x)$ で因数分解します。

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.7

$12$ を $12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12$ で因数分解します。

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12) = 0$

ステップ 5.2.2

有理根検定を用いて $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 5.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

ステップ 5.2.2.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 5.2.2.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.2.2.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.2.2.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.2.2.3.4

$- 8$ と $4$ をたし算します。

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.2.2.3.5

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 + 16 - 12$

ステップ 5.2.2.3.6

$- 4$ と $16$ をたし算します。

$12 - 12$

ステップ 5.2.2.3.7

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

ステップ 5.2.2.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

ステップ 5.2.2.5

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 5.2.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

ステップ 5.2.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

ステップ 5.2.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 5.2.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 5.2.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

ステップ 5.2.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 5.2.2.5.7

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 5.2.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 5.2.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 5.2.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

ステップ 5.2.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

ステップ 5.2.2.5.12

被除数 $- 6 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

ステップ 5.2.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

ステップ 5.2.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x - 12$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

ステップ 5.2.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

ステップ 5.2.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - x - 6$

ステップ 5.2.2.6

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ を因数の集合として書き換えます。

$12 ((x + 2) (x^{2} - x - 6)) = 0$

ステップ 5.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 5.2.3.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

ステップ 5.2.3.1.2

不要な括弧を削除します。

$12 ((x + 2) (x - 3) (x + 2)) = 0$

ステップ 5.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 5.2.4

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

ステップ 5.2.4.2

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

ステップ 5.2.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

ステップ 5.2.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 5.4

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 5.4.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.6

最終解は $12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 2, 3$

ステップ 8

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 96$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 96$

ステップ 9.1.2

$36$ に $4$ をかけます。

$144 + 24 (- 2) - 96$

ステップ 9.1.3

$24$ に $- 2$ をかけます。

$144 - 48 - 96$

ステップ 9.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 9.2.1

$144$ から $48$ を引きます。

$96 - 96$

ステップ 9.2.2

$96$ から $96$ を引きます。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ の区間 $(- \infty, - 2)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

ステップ 10.2.2.1.2

$12$ に $- 64$ をかけます。

$f' (- 4) = - 768 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = - 768 + 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 144$

ステップ 10.2.2.1.4

$12$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = - 768 + 192 - 96 \cdot - 4 - 144$

ステップ 10.2.2.1.5

$- 96$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - 768 + 192 + 384 - 144$

ステップ 10.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$- 768$ と $192$ をたし算します。

$f' (- 4) = - 576 + 384 - 144$

ステップ 10.2.2.2.2

$- 576$ と $384$ をたし算します。

$f' (- 4) = - 192 - 144$

ステップ 10.2.2.2.3

$- 192$ から $144$ を引きます。

$f' (- 4) = - 336$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 336$ です。

$- 336$

ステップ 10.3

一次導関数 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ の区間 $(- 2, 3)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 12 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

ステップ 10.3.2.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

ステップ 10.3.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 - 96 \cdot 0 - 144$

ステップ 10.3.2.1.4

$12$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 - 96 \cdot 0 - 144$

ステップ 10.3.2.1.5

$- 96$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 144$

ステップ 10.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 + 0 - 144$

ステップ 10.3.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 - 144$

ステップ 10.3.2.2.3

$0$ から $144$ を引きます。

$f' (0) = - 144$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 144$ です。

$- 144$

ステップ 10.4

一次導関数 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ の区間 $(3, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f' (6) = 12 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

ステップ 10.4.2.1.2

$12$ に $216$ をかけます。

$f' (6) = 2592 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

ステップ 10.4.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = 2592 + 12 \cdot 36 - 96 \cdot 6 - 144$

ステップ 10.4.2.1.4

$12$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = 2592 + 432 - 96 \cdot 6 - 144$

ステップ 10.4.2.1.5

$- 96$ に $6$ をかけます。

$f' (6) = 2592 + 432 - 576 - 144$

ステップ 10.4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.1

$2592$ と $432$ をたし算します。

$f' (6) = 3024 - 576 - 144$

ステップ 10.4.2.2.2

$3024$ から $576$ を引きます。

$f' (6) = 2448 - 144$

ステップ 10.4.2.2.3

$2448$ から $144$ を引きます。

$f' (6) = 2304$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $2304$ です。

$2304$

ステップ 10.5

$x = - 2$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.6

$x = 3$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 3$ は極小値です。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例