微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x + 27$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 30 x + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 30 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 30 x$ の微分係数は $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 1.3.3

$- 30$ に $1$ をかけます。

$12 x^{3} - 30 + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} - 30 + 0$

ステップ 1.4.2

$12 x^{3} - 30$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{3} - 30$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $12 x^{3} - 30$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 30)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 30$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 30$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 0$

ステップ 2.3.2

$36 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 36 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$12 x^{3} - 30 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 30 x + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 30 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 30 x$ の微分係数は $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 4.1.3.3

$- 30$ に $1$ をかけます。

$12 x^{3} - 30 + \frac{d}{d x} [27]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} - 30 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$12 x^{3} - 30$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 30$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} - 30$ です。

$12 x^{3} - 30$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} - 30 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} - 30 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $30$ を足します。

$12 x^{3} = 30$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $30$ を引きます。

$12 x^{3} - 30 = 0$

ステップ 5.4

$6$ を $12 x^{3} - 30$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$6$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$6 (2 x^{3}) - 30 = 0$

ステップ 5.4.2

$6$ を $- 30$ で因数分解します。

$6 (2 x^{3}) + 6 (- 5) = 0$

ステップ 5.4.3

$6$ を $6 (2 x^{3}) + 6 (- 5)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{3} - 5) = 0$

ステップ 5.5

$6 (2 x^{3} - 5) = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$6 (2 x^{3} - 5) = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 (2 x^{3} - 5)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (2 x^{3} - 5)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 5.5.2.1.2

$2 x^{3} - 5$ を $1$ で割ります。

$2 x^{3} - 5 = \frac{0}{6}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$2 x^{3} - 5 = 0$

ステップ 5.6

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x^{3} = 5$

ステップ 5.7

$2 x^{3} = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.1

$2 x^{3} = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 5.7.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{5}{2}$

ステップ 5.8

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{\frac{5}{2}}$

ステップ 5.9

$\sqrt[3]{\frac{5}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 5.9.1

$\sqrt[3]{\frac{5}{2}}$ を $\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 5.9.2

$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.9.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.9.3.1

$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.9.3.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.9.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.9.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 5.9.3.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.9.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.9.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.9.3.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.9.3.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.9.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.9.3.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 5.9.3.5.5

指数を求めます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 5.9.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.9.4.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 5.9.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 5.9.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \frac{\sqrt[3]{5 \cdot 4}}{2}$

ステップ 5.9.5.2

$5$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$

ステップ 8

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$36 {(\frac{\sqrt[3]{20}}{2})}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ に当てはめます。

$36 \frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1

${\sqrt[3]{20}}^{2}$ を $\sqrt[3]{20^{2}}$ に書き換えます。

$36 \frac{\sqrt[3]{20^{2}}}{2^{2}}$

ステップ 9.2.2

$20$ を $2$ 乗します。

$36 \frac{\sqrt[3]{400}}{2^{2}}$

ステップ 9.2.3

$400$ を $2^{3} \cdot 50$ に書き換えます。

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ステップ 9.2.3.1

$8$ を $400$ で因数分解します。

$36 \frac{\sqrt[3]{8 (50)}}{2^{2}}$

ステップ 9.2.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$36 \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 50}}{2^{2}}$

ステップ 9.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$36 \frac{2 \sqrt[3]{50}}{2^{2}}$

ステップ 9.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$36 \frac{2 \sqrt[3]{50}}{4}$

ステップ 9.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$4 (9) \frac{2 \sqrt[3]{50}}{4}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 9 \frac{2 \sqrt[3]{50}}{4}$

ステップ 9.3.2.3

式を書き換えます。

$9 (2 \sqrt[3]{50})$

ステップ 9.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$18 \sqrt[3]{50}$

ステップ 10

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt[3]{20}}{2})}^{4} - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{20}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt[3]{20}}^{4}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1.2.1

${\sqrt[3]{20}}^{4}$ を $\sqrt[3]{20^{4}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt[3]{20^{4}}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.2.2

$20$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt[3]{160000}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.2.3

$160000$ を $20^{3} \cdot 20$ に書き換えます。

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ステップ 11.2.1.2.3.1

$8000$ を $160000$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt[3]{8000 (20)}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.2.3.2

$8000$ を $20^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt[3]{20^{3} \cdot 20}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{20 \sqrt[3]{20}}{2^{4}}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{20 \sqrt[3]{20}}{16}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.4

$20$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.4.1

$4$ を $20 \sqrt[3]{20}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{4 (5 \sqrt[3]{20})}{16}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{4 (5 \sqrt[3]{20})}{4 (4)}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{4 (5 \sqrt[3]{20})}{4 \cdot 4}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = 3 (\frac{5 \sqrt[3]{20}}{4}) - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.5

$3 \frac{5 \sqrt[3]{20}}{4}$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1.5.1

$3$ と $\frac{5 \sqrt[3]{20}}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{3 (5 \sqrt[3]{20})}{4} - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.5.2

$5$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} - 30 \frac{\sqrt[3]{20}}{2} + 27$

ステップ 11.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.6.1

$2$ を $- 30$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} + 2 (- 15) (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) + 27$

ステップ 11.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} + 2 \cdot (- 15 \frac{\sqrt[3]{20}}{2}) + 27$

ステップ 11.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} - 15 \sqrt[3]{20} + 27$

ステップ 11.2.2

$- 15 \sqrt[3]{20}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} - 15 \sqrt[3]{20} \cdot \frac{4}{4} + 27$

ステップ 11.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 11.2.3.1

$- 15 \sqrt[3]{20}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20}}{4} + \frac{- 15 \sqrt[3]{20} \cdot 4}{4} + 27$

ステップ 11.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20} - 15 \sqrt[3]{20} \cdot 4}{4} + 27$

ステップ 11.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.4.1.1

$4$ に $- 15$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{15 \sqrt[3]{20} - 60 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$

ステップ 11.2.4.1.2

$15 \sqrt[3]{20}$ から $60 \sqrt[3]{20}$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = \frac{- 45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$

ステップ 11.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt[3]{20}}{2}) = - \frac{45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$

ステップ 11.2.5

最終的な答えは $- \frac{45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$ です。

$y = - \frac{45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27$

ステップ 12

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x + 27$ の極値です。

$(\frac{\sqrt[3]{20}}{2}, - \frac{45 \sqrt[3]{20}}{4} + 27)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例