微分積分例

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 1.3.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 1.3.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.3.9

$3$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 1.3.10

$2$ に $3$ をかけます。

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.3.12

$3$ を $6$ で因数分解します。

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.3.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 1.3.13.2

共通因数を約分します。

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.3.13.3

式を書き換えます。

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 2.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{3}}$ とします。

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.2.4

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.5

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 2.2.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 2.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 2.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

ステップ 2.2.9.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

ステップ 2.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

ステップ 2.2.11

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.13

指数を足して $x^{- \frac{2}{3}}$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.13.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.13.3

$- 2$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.13.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

ステップ 2.2.15

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.16

$- 2$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.17

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.3

$0$ から $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 4.1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.1.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 4.1.3.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 4.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.3.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 4.1.3.9

$3$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 4.1.3.10

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 4.1.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.3.12

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.3.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 4.1.3.13.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.3.13.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ です。

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

ステップ 5.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

ステップ 5.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.4

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

方程式を $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ として書き換えます。

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

ステップ 5.5.2

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 5.5.2.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

$2$ を $- 2$ で割ります。

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.5.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.5.4.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.5.4.1.1.2

簡約します。

$x = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x = - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 6.2

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 1, 0$

ステップ 8

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 9.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 9.1.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.4

$- 1$ を $4$ 乗します。

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

ステップ 9.2

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{3}$

ステップ 10

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 11

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f (- 1) = - 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 11.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 11.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

ステップ 11.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - 2 + 3 \cdot 1$

ステップ 11.2.1.6

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 2 + 3$

ステップ 11.2.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (- 1) = 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 13.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

ステップ 13.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

ステップ 13.3.2

$3$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2}{0}$

ステップ 13.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{2}{0}$

ステップ 13.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 14

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 14.2

一次導関数 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(- \infty, - 1)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2

最終的な答えは $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3

一次導関数 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(- 1, 0)$ から $- 0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

式の変数 $x$ を $- 0.5$ で置換えます。

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2

最終的な答えは $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4

一次導関数 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ を分子に移動させます。

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 14.4.2.1.2

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1.2.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1.2.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 14.4.2.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 14.4.2.1.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

ステップ 14.4.2.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3 - 1}{3}}$

ステップ 14.4.2.1.2.4

$3$ から $1$ を引きます。

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 14.4.2.2

最終的な答えは $2 + 2^{\frac{2}{3}}$ です。

$2 + 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 14.5

$x = - 1$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 1$ は極大値です。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 14.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 14.7

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ の極値です。

$x = - 1$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

$x = - 1$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例