微分積分例

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 1.3.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.3.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

ステップ 2.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 4 \cos (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

ステップ 4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 5

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 5.2

$2 \cos (x)$ を $4 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

ステップ 5.3

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ で因数分解します。

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 7

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 7.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 7.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 7.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 7.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 7.2.5

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 8

$1 + 2 \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$1 + 2 \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$1 + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 8.2

$x$ について $1 + 2 \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) = - 1$

ステップ 8.2.2

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 8.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 8.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 8.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 8.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 8.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 8.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 8.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 8.2.6.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 8.2.7

方程式 $x = - \frac{π}{6}$ に対する解です。

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

ステップ 9

最終解は $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

ステップ 10

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 \cdot 1 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 11.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 11.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.1

共通因数を約分します。

$- 2 + 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

ステップ 11.1.3.2

式を書き換えます。

$- 2 + 4 \cos (π)$

ステップ 11.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 + 4 (- \cos (0))$

ステップ 11.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 11.1.6

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 4 \cdot - 1$

ステップ 11.1.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 4$

ステップ 11.2

$- 2$ から $4$ を引きます。

$- 6$

ステップ 12

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 13

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 13.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 13.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 13.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (π)$

ステップ 13.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (0)$

ステップ 13.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 13.2.1.6

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

ステップ 13.2.1.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

ステップ 13.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2}) = 3$

ステップ 13.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 14

$x = \frac{3 π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 15

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 15.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 (- 1 \cdot 1) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 15.1.3

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 15.1.3.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 15.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.4.1

共通因数を約分します。

$2 + 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

ステップ 15.1.4.2

式を書き換えます。

$2 + 4 \cos (3 π)$

ステップ 15.1.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 + 4 \cos (π)$

ステップ 15.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 + 4 (- \cos (0))$

ステップ 15.1.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.1.8

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 + 4 \cdot - 1$

ステップ 15.1.8.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2 - 4$

ステップ 15.2

$2$ から $4$ を引きます。

$- 2$

ステップ 16

$x = \frac{3 π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

ステップ 17

$x = \frac{3 π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 17.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 17.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 17.2.1.3

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 17.2.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 17.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 17.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (3 π)$

ステップ 17.2.1.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (π)$

ステップ 17.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (0)$

ステップ 17.2.1.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 17.2.1.8

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

ステップ 17.2.1.8.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

ステップ 17.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

ステップ 17.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 18

$x = - \frac{π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin (- \frac{π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.3

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.4.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.4.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.4.4

式を書き換えます。

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.6.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{6})$

ステップ 19.1.6.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 (3)})$

ステップ 19.1.6.3

共通因数を約分します。

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

ステップ 19.1.6.4

式を書き換えます。

$1 + 4 \cos (\frac{- π}{3})$

ステップ 19.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$1 + 4 \cos (- \frac{π}{3})$

ステップ 19.1.8

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$1 + 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 19.1.9

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 19.1.10

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

ステップ 19.1.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.11.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

ステップ 19.1.11.2

共通因数を約分します。

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

ステップ 19.1.11.3

式を書き換えます。

$1 + 2$

ステップ 19.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$3$

ステップ 20

$x = - \frac{π}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{π}{6}$ は極小値です

ステップ 21

$x = - \frac{π}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

式の変数 $x$ を $- \frac{π}{6}$ で置換えます。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 21.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 21.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 21.2.1.3

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 21.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1.4.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 21.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 21.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

ステップ 21.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1.5.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{6}))$

ステップ 21.2.1.5.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

ステップ 21.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

ステップ 21.2.1.5.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{- π}{3})$

ステップ 21.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (- \frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.7

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

ステップ 21.2.1.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 21.2.1.9

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 21.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 21.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 21.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 21.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

ステップ 21.2.5.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

ステップ 21.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

ステップ 21.2.7

最終的な答えは $- \frac{3}{2}$ です。

$y = - \frac{3}{2}$

ステップ 22

$x = \frac{7 π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin (\frac{7 π}{6}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 23

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 23.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 23.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 23.1.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 23.1.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 23.1.3.4

式を書き換えます。

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 23.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 23.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

ステップ 23.1.5.2

共通因数を約分します。

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

ステップ 23.1.5.3

式を書き換えます。

$1 + 4 \cos (\frac{7 π}{3})$

ステップ 23.1.6

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 23.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

ステップ 23.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

ステップ 23.1.8.2

共通因数を約分します。

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

ステップ 23.1.8.3

式を書き換えます。

$1 + 2$

ステップ 23.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$3$

ステップ 24

$x = \frac{7 π}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{7 π}{6}$ は極小値です

ステップ 25

$x = \frac{7 π}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1

式の変数 $x$ を $\frac{7 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 25.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 25.2.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 25.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 25.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 25.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 25.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

ステップ 25.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

ステップ 25.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

ステップ 25.2.1.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 25.2.1.6

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 25.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 25.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 25.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 25.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

ステップ 25.2.5.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

ステップ 25.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

ステップ 25.2.7

最終的な答えは $- \frac{3}{2}$ です。

$y = - \frac{3}{2}$

ステップ 26

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$ の極値です。

$(\frac{π}{2}, 3)$ は極大値です

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ は極大値です

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ は極小値です

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ は極小値です

ステップ 27

微分積分 例

微分積分例