微分積分例

$f (x) = 2 x - \frac{256}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 x - \frac{256}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 256$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{256}{x}$ の微分係数は $- 256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 - 256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 - 256 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - 256 (- x^{- 2})$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $- 256$ をかけます。

$2 + 256 x^{- 2}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 + 256 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2

$256$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 + \frac{256}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{256}{x^{2}} + 2$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{256}{x^{2}} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{256}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{256}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{256}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$256$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{256}{x^{2}}$ の微分係数は $256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = 256 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 256 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 256 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 256 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 256 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 256 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 256 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.2.10

$- 2$ に $256$ をかけます。

$f'' (x) = - 512 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 512 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 512 \frac{1}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 512$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 512}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{512}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2.3

$- \frac{512}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{512}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{256}{x^{2}} + 2 = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例