微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{6}{x^{2}}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 1.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 1.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 1.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 1.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.3.10

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$4 x + 12 x^{- 3}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.4.2

$12$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

ステップ 2.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{12}{x^{3}}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

ステップ 2.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

ステップ 2.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

ステップ 2.3.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

ステップ 2.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

ステップ 2.3.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

ステップ 2.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

ステップ 2.3.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 2.3.8

$- 3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 36$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

ステップ 2.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例