微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

ステップ 1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 11 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 11 x$ の微分係数は $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$- 11$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 2 x - 11$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6 x^{2} + 2 x - 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 11)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 11$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x + 2 + 0$

ステップ 2.4.2

$12 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x + 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

ステップ 4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 11 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 11 x$ の微分係数は $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} x$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

ステップ 4.1.4.3

$- 11$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} + 2 x - 11$ です。

$6 x^{2} + 2 x - 11$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

ステップ 5.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3

$a = 6$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 11$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 11)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.4.1.2

$- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.4.1.2.2

$- 24$ に $- 11$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.4.1.3

$4$ と $264$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.4.1.4

$268$ を $2^{2} \cdot 67$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1

$4$ を $268$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

ステップ 5.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.5.1.2

$- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.5.1.2.2

$- 24$ に $- 11$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.5.1.3

$4$ と $264$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.5.1.4

$268$ を $2^{2} \cdot 67$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.4.1

$4$ を $268$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.5.2

$2$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

ステップ 5.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.5.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.5.6

$- 1$ を $\sqrt{67}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{67})}{6}$

ステップ 5.5.7

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{67})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{67})}{6}$

ステップ 5.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.6.1.2

$- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.2.1

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.6.1.2.2

$- 24$ に $- 11$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.6.1.3

$4$ と $264$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.6.1.4

$268$ を $2^{2} \cdot 67$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.4.1

$4$ を $268$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

ステップ 5.6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.6.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.6.6

$- 1$ を $- \sqrt{67}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{67})}{6}$

ステップ 5.6.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (\sqrt{67})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{67})}{6}$

ステップ 5.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

ステップ 8

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) + 2$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$12 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

ステップ 9.1.1.2

$6$ を $12$ で因数分解します。

$6 (2) \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

ステップ 9.1.1.3

共通因数を約分します。

$6 \cdot 2 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

ステップ 9.1.1.4

式を書き換えます。

$2 (- (1 - \sqrt{67})) + 2$

ステップ 9.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (1 - \sqrt{67}) + 2$

ステップ 9.1.3

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

ステップ 9.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

ステップ 9.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 + 2 \sqrt{67} + 2$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0 + 2 \sqrt{67}$

ステップ 9.2.2

$0$ と $2 \sqrt{67}$ をたし算します。

$2 \sqrt{67}$

ステップ 10

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ は極小値です

ステップ 11

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ で置換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.3

$6$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.4.2

$2$ を $216$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.4.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.5

二項定理を利用します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.6.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 (- \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(- \sqrt{67})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.6

積の法則を $- \sqrt{67}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.8

${\sqrt{67}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.9

${\sqrt{67}}^{2}$ を $67$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.6.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{67}$ を $67^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.6.9.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.9.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.9.5

指数を求めます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.10

$3$ に $67$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.11

積の法則を $- \sqrt{67}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.13

${\sqrt{67}}^{3}$ を $\sqrt{67^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.14

$67$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.15

$300763$ を $67^{2} \cdot 67$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.6.15.1

$4489$ を $300763$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.15.2

$4489$ を $67^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.16

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - (67 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.6.17

$67$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.7

$1$ と $201$ をたし算します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 3 \sqrt{67} - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.8

$- 3 \sqrt{67}$ から $67 \sqrt{67}$ を引きます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.9

$202 - 70 \sqrt{67}$ と $108$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.9.1

$2$ を $- (202 - 70 \sqrt{67})$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.9.2.1

$2$ を $108$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.9.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.9.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.11

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.11.1

積の法則を $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.11.2

積の法則を $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.12

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.13

$\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.14

$6$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.15

${(1 - \sqrt{67})}^{2}$ を $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.16

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.16.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 - \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.16.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.16.3

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.17.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.2

$- \sqrt{67}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.4

$- \sqrt{67} (- \sqrt{67})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.17.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 1 \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.4.2

$\sqrt{67}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.4.3

$\sqrt{67}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.4.4

$\sqrt{67}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1 + 1}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.5

${\sqrt{67}}^{2}$ を $67$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.17.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{67}$ を $67^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.17.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.1.5.5

指数を求めます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.2

$1$ と $67$ をたし算します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - \sqrt{67} - \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.17.3

$- \sqrt{67}$ から $\sqrt{67}$ を引きます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.18

$68 - 2 \sqrt{67}$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.18.1

$2$ を $68$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.18.2

$2$ を $- 2 \sqrt{67}$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) + 2 (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.18.3

$2$ を $2 (34) + 2 (- \sqrt{67})$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.18.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.18.4.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.18.4.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.18.4.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.19

$- 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.19.1

$- 1$ に $- 11$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

ステップ 11.2.1.19.2

$11$ と $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ をまとめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

ステップ 11.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 11.2.2.4

$\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

ステップ 11.2.2.5

$18 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

ステップ 11.2.2.6

$3$ に $18$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

ステップ 11.2.2.7

$6$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.2

$- 1$ に $101$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.3

$- 35$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.4

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.5

$34$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.7

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.8

$11$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.9

$- 1$ に $11$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 - 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.10

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.11

$11$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

ステップ 11.2.4.12

$9$ に $- 11$ をかけます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 11.2.5

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$- 101$ と $102$ をたし算します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 11.2.5.2

$1$ と $99$ をたし算します。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 11.2.5.3

$35 \sqrt{67}$ から $3 \sqrt{67}$ を引きます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 32 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 11.2.5.4

$32 \sqrt{67}$ から $99 \sqrt{67}$ を引きます。

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $\frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$ です。

$y = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 12

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) + 2$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$12 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

ステップ 13.1.1.2

$6$ を $12$ で因数分解します。

$6 (2) \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

ステップ 13.1.1.3

共通因数を約分します。

$6 \cdot 2 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

ステップ 13.1.1.4

式を書き換えます。

$2 (- (1 + \sqrt{67})) + 2$

ステップ 13.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (1 + \sqrt{67}) + 2$

ステップ 13.1.3

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{67} + 2$

ステップ 13.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 - 2 \sqrt{67} + 2$

ステップ 13.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0 - 2 \sqrt{67}$

ステップ 13.2.2

$0$ から $2 \sqrt{67}$ を引きます。

$- 2 \sqrt{67}$

ステップ 14

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ は極大値です

ステップ 15

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ で置換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.3

$6$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1

$- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.4.2

$2$ を $216$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.4.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.5

二項定理を利用します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.6.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.4

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.5

${\sqrt{67}}^{2}$ を $67$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.6.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{67}$ を $67^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.6.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.5.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.5.5

指数を求めます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.6

$3$ に $67$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.7

${\sqrt{67}}^{3}$ を $\sqrt{67^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.8

$67$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.9

$300763$ を $67^{2} \cdot 67$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.6.9.1

$4489$ を $300763$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.9.2

$4489$ を $67^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.6.10

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.7

$1$ と $201$ をたし算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 3 \sqrt{67} + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.8

$3 \sqrt{67}$ と $67 \sqrt{67}$ をたし算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.9

$202 + 70 \sqrt{67}$ と $108$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.9.1

$2$ を $- (202 + 70 \sqrt{67})$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.9.2.1

$2$ を $108$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.9.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.9.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.11

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.11.1

積の法則を $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.11.2

積の法則を $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.12

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.13

$\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.14

$6$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.15

${(1 + \sqrt{67})}^{2}$ を $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.16

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.16.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 + \sqrt{67}) + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.16.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.16.3

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.17.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17.1.2

$\sqrt{67}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17.1.3

$\sqrt{67}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67 \cdot 67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17.1.5

$67$ に $67$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{4489}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17.1.6

$4489$ を $67^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67^{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17.2

$1$ と $67$ をたし算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + \sqrt{67} + \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.17.3

$\sqrt{67}$ と $\sqrt{67}$ をたし算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.18

$68 + 2 \sqrt{67}$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.18.1

$2$ を $68$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.18.2

$2$ を $2 \sqrt{67}$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.18.3

$2$ を $2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.18.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.18.4.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 (18)} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.18.4.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.18.4.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.19

$- 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.19.1

$- 1$ に $- 11$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

ステップ 15.2.1.19.2

$11$ と $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ をまとめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 15.2.2.4

$\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

ステップ 15.2.2.5

$18 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

ステップ 15.2.2.6

$3$ に $18$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

ステップ 15.2.2.7

$6$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.2

$- 1$ に $101$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.3

$35$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.4

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.5

$34$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.6

$3$ を $\sqrt{67}$ の左に移動させます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \cdot \sqrt{67} + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.7

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.8

$11$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.9

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.10

$11$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

ステップ 15.2.4.11

$9$ に $11$ をかけます。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 15.2.5

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 101$ と $102$ をたし算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 15.2.5.2

$1$ と $99$ をたし算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 15.2.5.3

$- 35 \sqrt{67}$ と $3 \sqrt{67}$ をたし算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 32 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 15.2.5.4

$- 32 \sqrt{67}$ と $99 \sqrt{67}$ をたし算します。

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$ です。

$y = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

ステップ 16

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ の極値です。

$(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54})$ は極小値です

$(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}, \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例