微分積分例

$f (x) = 3 x + \frac{27}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x + \frac{27}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{27}{x}$ の微分係数は $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$3 + 27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$3 + 27 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 + 27 (- x^{- 2})$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $27$ をかけます。

$3 - 27 x^{- 2}$

ステップ 1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 - 27 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$- 27$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$3 + \frac{- 27}{x^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$3 - \frac{27}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$- \frac{27}{x^{2}} + 3$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{27}{x^{2}} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{27}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{27}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{27}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{27}{x^{2}}$ の微分係数は $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - 27 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 27 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 27 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 27 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 27 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 27 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 27 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 27 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 27 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = - 27 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.10

$- 2$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (x) = 54 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 54 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 54 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$54$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{54}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2.2

$\frac{54}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{54}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{27}{x^{2}} + 3 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 x + \frac{27}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{x})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{x})$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{27}{x})$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (\frac{27}{x})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{27}{x}$ の微分係数は $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = 3 + 27 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 + 27 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 4.1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 + 27 (- x^{- 2})$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ に $27$ をかけます。

$f' (x) = 3 - 27 x^{- 2}$

ステップ 4.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 3 - 27 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1.1

$- 27$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 3 + \frac{- 27}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 3 - \frac{27}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{27}{x^{2}} + 3$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{27}{x^{2}} + 3$ です。

$- \frac{27}{x^{2}} + 3$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{27}{x^{2}} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{27}{x^{2}} + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- \frac{27}{x^{2}} = - 3$

ステップ 5.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 5.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 5.4

$- \frac{27}{x^{2}} = - 3$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- \frac{27}{x^{2}} = - 3$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{27}{x^{2}} x^{2} = - 3 x^{2}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- \frac{27}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 27}{x^{2}} x^{2} = - 3 x^{2}$

ステップ 5.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 27}{x^{2}} x^{2} = - 3 x^{2}$

ステップ 5.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 27 = - 3 x^{2}$

ステップ 5.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

方程式を $- 3 x^{2} = - 27$ として書き換えます。

$- 3 x^{2} = - 27$

ステップ 5.5.2

$- 3 x^{2} = - 27$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$- 3 x^{2} = - 27$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 27}{- 3}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 27}{- 3}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 27}{- 3}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

$- 27$ を $- 3$ で割ります。

$x^{2} = 9$

ステップ 5.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 5.5.4

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 5.5.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 5.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 5.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 5.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{27}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 3, - 3$

ステップ 8

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{54}{{(3)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{54}{27}$

ステップ 9.2

$54$ を $27$ で割ります。

$2$

ステップ 10

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 11

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 3 (3) + \frac{27}{3}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 9 + \frac{27}{3}$

ステップ 11.2.1.2

$27$ を $3$ で割ります。

$f (3) = 9 + 9$

ステップ 11.2.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$f (3) = 18$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $18$ です。

$y = 18$

ステップ 12

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{54}{{(- 3)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$\frac{54}{- 27}$

ステップ 13.2

$54$ を $- 27$ で割ります。

$- 2$

ステップ 14

$x = - 3$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 3$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = 3 (- 3) + \frac{27}{- 3}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = - 9 + \frac{27}{- 3}$

ステップ 15.2.1.2

$27$ を $- 3$ で割ります。

$f (- 3) = - 9 - 9$

ステップ 15.2.2

$- 9$ から $9$ を引きます。

$f (- 3) = - 18$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 18$ です。

$y = - 18$

ステップ 16

$f (x) = 3 x + \frac{27}{x}$ の極値です。

$(3, 18)$ は極小値です

$(- 3, - 18)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例