微分積分例

$f (x) = 4 - x^{4} y^{4}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 - x^{4} y^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

ステップ 1.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- y^{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4} y^{4}$ の微分係数は $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

ステップ 1.3

$0$ から $4 y^{4} x^{3}$ を引きます。

$- 4 y^{4} x^{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 4 y^{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 y^{4} x^{3}$ の微分係数は $- 4 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 4 y^{4} \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 y^{4} (3 x^{2})$

ステップ 2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 y^{4} x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $4 - x^{4} y^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

ステップ 4.1.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- y^{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4} y^{4}$ の微分係数は $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

ステップ 4.1.3

$0$ から $4 y^{4} x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = - 4 y^{4} x^{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 y^{4} x^{3}$ です。

$- 4 y^{4} x^{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

ステップ 5.2

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$ の各項を $- 4 y^{4}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$ の各項を $- 4 y^{4}$ で割ります。

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

ステップ 5.2.2.2

$y^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$0$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$x^{3} = \frac{4 (0)}{- 4 y^{4}}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$4$ を $- 4 y^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} = \frac{4 (0)}{4 (- y^{4})}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} = \frac{4 \cdot 0}{4 (- y^{4})}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} = \frac{0}{- y^{4}}$

ステップ 5.2.3.2

$0$ を $- y^{4}$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.4

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.4.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 y^{4} {(0)}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 12 y^{4} \cdot 0$

ステップ 9.2

$- 12 y^{4} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1

$0$ に $- 12$ をかけます。

$0 y^{4}$

ステップ 9.2.2

$0$ に $y^{4}$ をかけます。

$0$

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例