微分積分例

$f (x) = - 4 x^{4} - 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $- 4 x^{4} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{4}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 4$ をかけます。

$- 16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 16 x^{3} + 0$

ステップ 1.3.2

$- 16 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$- 16 x^{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{3}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 16 (3 x^{2})$

ステップ 2.3

$3$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (x) = - 48 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 16 x^{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $- 4 x^{4} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{4}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $- 4$ をかけます。

$- 16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 16 x^{3} + 0$

ステップ 4.1.3.2

$- 16 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 16 x^{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 16 x^{3}$ です。

$- 16 x^{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 16 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 16 x^{3} = 0$

ステップ 5.2

$- 16 x^{3} = 0$ の各項を $- 16$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 16 x^{3} = 0$ の各項を $- 16$ で割ります。

$\frac{- 16 x^{3}}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 16 x^{3}}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{- 16}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$0$ を $- 16$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.4

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.4.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 48 {(0)}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 48 \cdot 0$

ステップ 9.2

$- 48$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- 16 x^{3}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - 16 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = - 16 \cdot - 8$

ステップ 10.2.2.2

$- 16$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = 128$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $128$ です。

$128$

ステップ 10.3

一次導関数 $- 16 x^{3}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - 16 {(2)}^{3}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = - 16 \cdot 8$

ステップ 10.3.2.2

$- 16$ に $8$ をかけます。

$f' (2) = - 128$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 128$ です。

$- 128$

ステップ 10.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

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