微分積分例

$f (x) = 4 x \sqrt{100 - x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{100 - x^{2}}$ を ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 100 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $100 - x^{2}$ とします。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $100 - x^{2}$ で置き換えます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8

分数をまとめます。

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ステップ 1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8.4

$\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.9

総和則では、 $100 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.10

$100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.14

分数をまとめます。

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ステップ 1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.14.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.15

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.16

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.20

共通因数を約分します。

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ステップ 1.20.1

$2$ を $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.20.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.20.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.21

分数の前に負数を移動させます。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

ステップ 1.23

${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.24

${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 1.25

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26

指数を足して ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.27

${(100 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.28

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.29

$4$ と $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30

簡約します。

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ステップ 1.30.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.30.2.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.2.2

$4$ に $100$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.4

$8$ を $- 8 x^{2} + 400$ で因数分解します。

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ステップ 1.30.4.1

$8$ を $- 8 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.4.2

$8$ を $400$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.4.3

$8$ を $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.5

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.6

$50$ を $- 1 (- 50)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.7

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.8

$- (x^{2} - 50)$ を $- 1 (x^{2} - 50)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.30.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2} - 50$ および $g (x) = {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3

${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.4

簡約します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

総和則では、 $x^{2} - 50$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.5.3

$- 50$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 50$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.5.4.2

$2$ を ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = - x^{2} + 100$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2} + 100$ とします。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.6.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2} + 100$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{{(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.12

総和則では、 $- x^{2} + 100$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.13

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.15

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.16

$100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.17

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.17.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.17.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.17.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.18

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.1

$2$ を $2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.18.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.18.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.19

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.19.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.19.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 1 (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.19.3

$x^{2} - 50$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.20

$- 8$ と $\frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.21

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.2.1

$2$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.2

$x^{2} - 50$ に $\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 8 (\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.3

$8$ と $\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 ((x^{2} - 50) x)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.4

$16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6

因数分解した形で $\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.2.6.1

$8 x$ を $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.2.6.1.1

$8 x$ を $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6.1.2

$8 x$ を $8 (x^{2} - 50) x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6.1.3

$8 x$ を $8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.2.6.2.1

指数を足して ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.2.6.2.1.1

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{2}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6.2.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.6.2.2

$2 {(- x^{2} + 100)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.2.7.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2}) + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.7.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.7.3

$2$ に $100$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 200 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.7.4

$- 2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 200 - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.2.7.5

$200$ から $50$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

ステップ 2.22.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.3.1

$\frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - (\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 100})$

ステップ 2.22.3.2

$\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{- x^{2} + 100}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

ステップ 2.22.3.3

指数を足して ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{2} + 100$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.3.3.1

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{2} + 100$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.3.3.1.1

$- x^{2} + 100$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

ステップ 2.22.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 2.22.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 2.22.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 2.22.3.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.22.4

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.22.5

$150$ を $- 1 (- 150)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.22.6

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- 150)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.22.7

$- (x^{2} - 150)$ を $- 1 (x^{2} - 150)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x (- 1 (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.22.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.22.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.22.10

$\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{100 - x^{2}}$ を ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 100 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $100 - x^{2}$ とします。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.3

$u$ のすべての発生を $100 - x^{2}$ で置き換えます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.6

公分母の分子をまとめます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.8.4

$\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.9

総和則では、 $100 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.10

$100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.14.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.15

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.16

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.20.1

$2$ を $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.20.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.20.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.21

分数の前に負数を移動させます。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

ステップ 4.1.23

${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.1.24

${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4.1.25

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26

指数を足して ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.27

${(100 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.28

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.29

$4$ と $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.30.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.30.2.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.2.2

$4$ に $100$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.4

$8$ を $- 8 x^{2} + 400$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.30.4.1

$8$ を $- 8 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.4.2

$8$ を $400$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.4.3

$8$ を $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.5

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.6

$50$ を $- 1 (- 50)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.7

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.8

$- (x^{2} - 50)$ を $- 1 (x^{2} - 50)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.30.9

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$8 (x^{2} - 50) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$8 (x^{2} - 50) = 0$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$8 (x^{2} - 50) = 0$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 5.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 5.3.1.2.1.2

$x^{2} - 50$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 50 = \frac{0}{8}$

ステップ 5.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1

$0$ を $8$ で割ります。

$x^{2} - 50 = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺に $50$ を足します。

$x^{2} = 50$

ステップ 5.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{50}$

ステップ 5.3.4

$\pm \sqrt{50}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$50$ を $5^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{25 (2)}$

ステップ 5.3.4.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

ステップ 5.3.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5 \sqrt{2}$

ステップ 5.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5 \sqrt{2}$

ステップ 5.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5 \sqrt{2}$

ステップ 5.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{{(- x^{2} + 100)}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$

ステップ 6.2

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{- x^{2} + 100} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{- x^{2} + 100}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- x^{2} + 100}$ を ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- x^{2} + 100)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

簡約します。

$- x^{2} + 100 = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- x^{2} + 100 = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺から $100$ を引きます。

$- x^{2} = - 100$

ステップ 6.3.3.2

$- x^{2} = - 100$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$- x^{2} = - 100$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 100}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 100}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 100}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.3.1

$- 100$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 100$

ステップ 6.3.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{100}$

ステップ 6.3.3.4

$\pm \sqrt{100}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

ステップ 6.3.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 10$

ステップ 6.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 10$

ステップ 6.3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 10$

ステップ 6.3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 10, - 10$

ステップ 6.4

$\sqrt{- x^{2} + 100}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$- x^{2} + 100 < 0$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

不等式の両辺から $100$ を引きます。

$- x^{2} < - 100$

ステップ 6.5.2

$- x^{2} < - 100$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$- x^{2} < - 100$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 100}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 100}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} > \frac{- 100}{- 1}$

ステップ 6.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

$- 100$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} > 100$

ステップ 6.5.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{100}$

ステップ 6.5.4

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > \sqrt{100}$

ステップ 6.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1

$\sqrt{100}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1.1

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$| x | > \sqrt{10^{2}}$

ステップ 6.5.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > | 10 |$

ステップ 6.5.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $10$ の間の距離は $10$ です。

$| x | > 10$

ステップ 6.5.5

$| x | > 10$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 6.5.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x > 10$

ステップ 6.5.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.5.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x > 10$

ステップ 6.5.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x > 10 & x \geq 0 \\ - x > 10 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 6.5.6

$x > 10$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x > 10$

ステップ 6.5.7

$- x > 10$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.1

$- x > 10$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{10}{- 1}$

ステップ 6.5.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} < \frac{10}{- 1}$

ステップ 6.5.7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{10}{- 1}$

ステップ 6.5.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.3.1

$10$ を $- 1$ で割ります。

$x < - 10$

ステップ 6.5.8

解の和集合を求めます。

$x < - 10$ または $x > 10$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}, - 10, 10$

ステップ 8

$x = 5 \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{(8 (5 \sqrt{2})) ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$8$ に $5$ をかけます。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (5^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.4

$- (25 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.4.1

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.4.2

$- 1$ に $50$ をかけます。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.2

$- 50$ と $100$ をたし算します。

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{40 \sqrt{2} (5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.3.5

指数を求めます。

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.4

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.5

$50$ から $150$ を引きます。

$\frac{40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3.6

$- 100$ に $40$ をかけます。

$\frac{- 4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

$x = 5 \sqrt{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 5 \sqrt{2}$ は極大値です

ステップ 11

$x = 5 \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $5 \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (5 \sqrt{2}) = 4 (5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$5$ に $4$ をかけます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 11.2.1.2

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (5^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 11.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 11.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 11.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 11.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 11.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

ステップ 11.2.2.5

指数を求めます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

ステップ 11.2.3

$- (25 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$25$ に $2$ をかけます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

ステップ 11.2.3.2

$- 1$ に $50$ をかけます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

ステップ 11.2.4

$100$ から $50$ を引きます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

ステップ 11.2.5

$50$ を $5^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

ステップ 11.2.5.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

ステップ 11.2.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

ステップ 11.2.7

$20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.7.1

$5$ に $20$ をかけます。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 11.2.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

ステップ 11.2.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

ステップ 11.2.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

ステップ 11.2.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 11.2.8

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 11.2.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 11.2.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 11.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 11.2.8.4.2

式を書き換えます。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

ステップ 11.2.8.5

指数を求めます。

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

ステップ 11.2.9

$100$ に $2$ をかけます。

$f (5 \sqrt{2}) = 200$

ステップ 11.2.10

最終的な答えは $200$ です。

$y = 200$

ステップ 12

$x = - 5 \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{(8 (- 5 \sqrt{2})) ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- 5$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

積の法則を $- 5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4

$- (25 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.1

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2

$- 1$ に $50$ をかけます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2

$- 50$ と $100$ をたし算します。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

積の法則を $- 5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.3.5

指数を求めます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.4

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.5

$50$ から $150$ を引きます。

$\frac{- 40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.6

$- 100$ に $- 40$ をかけます。

$\frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14

$x = - 5 \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 5 \sqrt{2}$ は極小値です

ステップ 15

$x = - 5 \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 5 \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = 4 (- 5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 5$ に $4$ をかけます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 15.2.1.2

積の法則を $- 5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 15.2.1.3

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 15.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 15.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 15.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 15.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

ステップ 15.2.2.5

指数を求めます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

ステップ 15.2.3

$- (25 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$25$ に $2$ をかけます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

ステップ 15.2.3.2

$- 1$ に $50$ をかけます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

ステップ 15.2.4

$100$ から $50$ を引きます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

ステップ 15.2.5

$50$ を $5^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

ステップ 15.2.5.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

ステップ 15.2.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

ステップ 15.2.7

$- 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.7.1

$5$ に $- 20$ をかけます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 15.2.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

ステップ 15.2.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

ステップ 15.2.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

ステップ 15.2.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 15.2.8

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 15.2.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 15.2.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 15.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 15.2.8.4.2

式を書き換えます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

ステップ 15.2.8.5

指数を求めます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

ステップ 15.2.9

$- 100$ に $2$ をかけます。

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 200$

ステップ 15.2.10

最終的な答えは $- 200$ です。

$y = - 200$

ステップ 16

$x = - 10$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- {(- 10)}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 17.1

各項を簡約します。

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ステップ 17.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.1.2

$- 1$ に $100$ をかけます。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 17.2.1

$- 100$ と $100$ をたし算します。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 17.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 17.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{3}}$

ステップ 17.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

ステップ 17.2.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

ステップ 17.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 18

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 19

微分積分 例

微分積分例