微分積分例

$f (x) = 7 x \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x \ln (x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.4.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$7 (1 + \ln (x))$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

ステップ 1.5.2

$7$ に $1$ をかけます。

$7 + 7 \ln (x)$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$7 \ln (x) + 7$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $7 \ln (x) + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 \ln (x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 7 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 2.2.3

$7$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{7}{x} + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{7}{x} + 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{7}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{7}{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$7 \ln (x) + 7 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x \ln (x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 4.1.2

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.2.2

式を書き換えます。

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.4.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$7 (1 + \ln (x))$

ステップ 4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

分配則を当てはめます。

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

ステップ 4.1.5.2

$7$ に $1$ をかけます。

$7 + 7 \ln (x)$

ステップ 4.1.5.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 7 \ln (x) + 7$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $7 \ln (x) + 7$ です。

$7 \ln (x) + 7$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $7 \ln (x) + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$7 \ln (x) + 7 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$7 \ln (x) = - 7$

ステップ 5.3

$7 \ln (x) = - 7$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$7 \ln (x) = - 7$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 7}{7}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 7$ を $7$ で割ります。

$\ln (x) = - 1$

ステップ 5.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

ステップ 5.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 1} = x$

ステップ 5.6

$x$ について解きます。

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ステップ 5.6.1

方程式を $x = e^{- 1}$ として書き換えます。

$x = e^{- 1}$

ステップ 5.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{e}$

ステップ 8

$x = \frac{1}{e}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{7}{\frac{1}{e}}$

ステップ 9

分子に分母の逆数を掛けます。

$7 e$

ステップ 10

$x = \frac{1}{e}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{e}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{e}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e}) = 7 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$7$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

ステップ 11.2.2

$\frac{1}{e}$ を $1 e^{- 1}$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

ステップ 11.2.3

$\ln (1 e^{- 1})$ を $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

ステップ 11.2.4

対数の法則を利用して指数の外に $- 1$ を移動します。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

ステップ 11.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

ステップ 11.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

ステップ 11.2.7

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (0 - 1)$

ステップ 11.2.8

$0$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot - 1$

ステップ 11.2.9

$\frac{7}{e} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.9.1

$\frac{7}{e}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7 \cdot - 1}{e}$

ステップ 11.2.9.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 7}{e}$

ステップ 11.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{7}{e}$

ステップ 11.2.11

最終的な答えは $- \frac{7}{e}$ です。

$y = - \frac{7}{e}$

ステップ 12

$f (x) = 7 x \ln (x)$ の極値です。

$(\frac{1}{e}, - \frac{7}{e})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例