微分積分例

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{4}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $- 15$ をかけます。

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x^{3}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.4.3

$3$ に $- 10$ をかけます。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 1.5

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x^{2}$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 (2 x)$

ステップ 1.5.3

$2$ に $30$ をかけます。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x^{4}$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.2.3

$4$ に $30$ をかけます。

$f'' (x) = 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 60 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 60 x^{3}$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 60$ をかけます。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 30 x^{2}$ の微分係数は $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.4.3

$2$ に $- 30$ をかけます。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + \frac{d}{d x} (60 x)$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [60 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $60 x$ の微分係数は $60 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60 \cdot 1$

ステップ 2.5.3

$60$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{4}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $- 15$ をかけます。

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x^{3}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.4.3

$3$ に $- 10$ をかけます。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

ステップ 4.1.5

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x^{2}$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 (2 x)$

ステップ 4.1.5.3

$2$ に $30$ をかけます。

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ です。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$30 x$ を $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$30 x$ を $30 x^{4}$ で因数分解します。

$30 x (x^{3}) - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$30 x$ を $- 60 x^{3}$ で因数分解します。

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) - 30 x^{2} + 60 x = 0$

ステップ 5.2.1.3

$30 x$ を $- 30 x^{2}$ で因数分解します。

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 60 x = 0$

ステップ 5.2.1.4

$30 x$ を $60 x$ で因数分解します。

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 30 x (2) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$30 x$ を $30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2})$ で因数分解します。

$30 x (x^{3} - 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 30 x (2) = 0$

ステップ 5.2.1.6

$30 x$ を $30 x (x^{3} - 2 x^{2}) + 30 x (- x)$ で因数分解します。

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x) + 30 x (2) = 0$

ステップ 5.2.1.7

$30 x$ を $30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x) + 30 x (2)$ で因数分解します。

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) = 0$

ステップ 5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$30 x ((x^{3} - 2 x^{2}) - x + 2) = 0$

ステップ 5.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$30 x (x^{2} (x - 2) - (x - 2)) = 0$

ステップ 5.2.3

最大公約数 $x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$30 x ((x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 5.2.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$30 x ((x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

ステップ 5.2.5

因数分解。

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ステップ 5.2.5.1

因数分解。

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ステップ 5.2.5.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$30 x ((x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

ステップ 5.2.5.1.2

不要な括弧を削除します。

$30 x ((x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 5.2.5.2

不要な括弧を削除します。

$30 x (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.7

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.8

最終解は $30 x (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 1, 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 2, - 1, 1$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$120 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$120 \cdot 0 - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

ステップ 9.1.2

$120$ に $0$ をかけます。

$0 - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 180 \cdot 0 - 60 \cdot 0 + 60$

ステップ 9.1.4

$- 180$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 60 \cdot 0 + 60$

ステップ 9.1.5

$- 60$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 + 60$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 60$

ステップ 9.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 60$

ステップ 9.2.3

$0$ と $60$ をたし算します。

$60$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 6 {(0)}^{5} - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 6 \cdot 0 - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.2

$6$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 15 \cdot 0 - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.4

$- 15$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 30 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.6

$- 10$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 30 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 30 \cdot 0$

ステップ 11.2.1.8

$30$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 11.2.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$120 {(2)}^{3} - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$120 \cdot 8 - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

ステップ 13.1.2

$120$ に $8$ をかけます。

$960 - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

ステップ 13.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$960 - 180 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 60$

ステップ 13.1.4

$- 180$ に $4$ をかけます。

$960 - 720 - 60 \cdot 2 + 60$

ステップ 13.1.5

$- 60$ に $2$ をかけます。

$960 - 720 - 120 + 60$

ステップ 13.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$960$ から $720$ を引きます。

$240 - 120 + 60$

ステップ 13.2.2

$240$ から $120$ を引きます。

$120 + 60$

ステップ 13.2.3

$120$ と $60$ をたし算します。

$180$

ステップ 14

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 15

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 6 {(2)}^{5} - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$2$ を $5$ 乗します。

$f (2) = 6 \cdot 32 - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

ステップ 15.2.1.2

$6$ に $32$ をかけます。

$f (2) = 192 - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

ステップ 15.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 192 - 15 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

ステップ 15.2.1.4

$- 15$ に $16$ をかけます。

$f (2) = 192 - 240 - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

ステップ 15.2.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 192 - 240 - 10 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

ステップ 15.2.1.6

$- 10$ に $8$ をかけます。

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 30 {(2)}^{2}$

ステップ 15.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 30 \cdot 4$

ステップ 15.2.1.8

$30$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 120$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$192$ から $240$ を引きます。

$f (2) = - 48 - 80 + 120$

ステップ 15.2.2.2

$- 48$ から $80$ を引きます。

$f (2) = - 128 + 120$

ステップ 15.2.2.3

$- 128$ と $120$ をたし算します。

$f (2) = - 8$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$y = - 8$

ステップ 16

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$120 {(- 1)}^{3} - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$120 \cdot - 1 - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

ステップ 17.1.2

$120$ に $- 1$ をかけます。

$- 120 - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

ステップ 17.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 120 - 180 \cdot 1 - 60 \cdot - 1 + 60$

ステップ 17.1.4

$- 180$ に $1$ をかけます。

$- 120 - 180 - 60 \cdot - 1 + 60$

ステップ 17.1.5

$- 60$ に $- 1$ をかけます。

$- 120 - 180 + 60 + 60$

ステップ 17.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$- 120$ から $180$ を引きます。

$- 300 + 60 + 60$

ステップ 17.2.2

$- 300$ と $60$ をたし算します。

$- 240 + 60$

ステップ 17.2.3

$- 240$ と $60$ をたし算します。

$- 180$

ステップ 18

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 19

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- 1) = 6 \cdot - 1 - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 6 - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.3

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = - 6 - 15 \cdot 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.4

$- 15$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 6 - 15 - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = - 6 - 15 - 10 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.6

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30 \cdot 1$

ステップ 19.2.1.8

$30$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$- 6$ から $15$ を引きます。

$f (- 1) = - 21 + 10 + 30$

ステップ 19.2.2.2

$- 21$ と $10$ をたし算します。

$f (- 1) = - 11 + 30$

ステップ 19.2.2.3

$- 11$ と $30$ をたし算します。

$f (- 1) = 19$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $19$ です。

$y = 19$

ステップ 20

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$120 {(1)}^{3} - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

ステップ 21

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$120 \cdot 1 - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

ステップ 21.1.2

$120$ に $1$ をかけます。

$120 - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

ステップ 21.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$120 - 180 \cdot 1 - 60 \cdot 1 + 60$

ステップ 21.1.4

$- 180$ に $1$ をかけます。

$120 - 180 - 60 \cdot 1 + 60$

ステップ 21.1.5

$- 60$ に $1$ をかけます。

$120 - 180 - 60 + 60$

ステップ 21.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1

$120$ から $180$ を引きます。

$- 60 - 60 + 60$

ステップ 21.2.2

$- 60$ から $60$ を引きます。

$- 120 + 60$

ステップ 21.2.3

$- 120$ と $60$ をたし算します。

$- 60$

ステップ 22

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 23

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 6 {(1)}^{5} - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

ステップ 23.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 6 \cdot 1 - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

ステップ 23.2.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 6 - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

ステップ 23.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 6 - 15 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

ステップ 23.2.1.4

$- 15$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 6 - 15 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

ステップ 23.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 6 - 15 - 10 \cdot 1 + 30 {(1)}^{2}$

ステップ 23.2.1.6

$- 10$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30 {(1)}^{2}$

ステップ 23.2.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30 \cdot 1$

ステップ 23.2.1.8

$30$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30$

ステップ 23.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.2.1

$6$ から $15$ を引きます。

$f (1) = - 9 - 10 + 30$

ステップ 23.2.2.2

$- 9$ から $10$ を引きます。

$f (1) = - 19 + 30$

ステップ 23.2.2.3

$- 19$ と $30$ をたし算します。

$f (1) = 11$

ステップ 23.2.3

最終的な答えは $11$ です。

$y = 11$

ステップ 24

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

$(2, - 8)$ は極小値です

$(- 1, 19)$ は極大値です

$(1, 11)$ は極大値です

ステップ 25

微分積分 例

微分積分例