微分積分例

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $5 x + \cos (2 x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

ステップ 1.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 1.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

ステップ 1.3.7

$2$ と $0$ をたし算します。

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

ステップ 1.3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

ステップ 2.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (2 x + 1)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

ステップ 2.2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

ステップ 2.2.3

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

ステップ 2.2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

ステップ 2.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

ステップ 2.2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

ステップ 2.2.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

ステップ 2.2.9

$2$ を $\cos (2 x + 1)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

ステップ 2.2.10

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

ステップ 2.3

$0$ から $4 \cos (2 x + 1)$ を引きます。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

ステップ 5

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 5.2.1.2

$\sin (2 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

ステップ 6

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $\frac{5}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 7

$x =$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 \cos (2 + 1)$

ステップ 8

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 8.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 4 \cos (3)$

ステップ 8.2

$\cos (3)$ の値を求めます。

$- 4 \cdot 0.99862953$

ステップ 8.3

$- 4$ に $0.99862953$ をかけます。

$- 3.99451813$

ステップ 9

$x =$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x =$ は極大値です

ステップ 10

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ の極値です。

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例