微分積分例

$f (x) = 6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \cos^{2} (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$6 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

ステップ 1.2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

ステップ 1.2.5

$- 2$ に $6$ をかけます。

$- 12 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 \sin (x)$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x) \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 12 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 \cos (x)$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 12 \frac{d}{d x} \cos (x)$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 12 (- \sin (x))$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 12 \sin (x)$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 12 \cos^{2} (x) - 12 (- \sin^{2} (x)) + 12 \sin (x)$

ステップ 2.4.2

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x) = 0$

ステップ 4

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$12 \cos (x)$ を $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$12 \cos (x)$ を $- 12 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 12 \cos (x) = 0$

ステップ 4.1.2

$12 \cos (x)$ を $- 12 \cos (x)$ で因数分解します。

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 12 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 4.1.3

$12 \cos (x)$ を $12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 12 \cos (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

ステップ 4.2

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$12 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 6

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.5

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 7

$- \sin (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- \sin (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $- \sin (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- \sin (x) = 1$

ステップ 7.2.2

$- \sin (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$- \sin (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 7.2.2.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 7.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 7.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 7.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 7.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.2.6.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 7.2.6.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 7.2.7

方程式 $x = - \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 8

最終解は $12 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

ステップ 9

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- 12 \cdot 0^{2} + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 12 \cdot 0 + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.3

$- 12$ に $0$ をかけます。

$0 + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 12 \cdot 1^{2} + 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$0 + 12 \cdot 1 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.6

$12$ に $1$ をかけます。

$0 + 12 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 12 + 12 \cdot 1$

ステップ 10.1.8

$12$ に $1$ をかけます。

$0 + 12 + 12$

ステップ 10.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$0$ と $12$ をたし算します。

$12 + 12$

ステップ 10.2.2

$12$ と $12$ をたし算します。

$24$

ステップ 11

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極小値です

ステップ 12

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 0^{2} - 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 0 - 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12 \cdot 1$

ステップ 12.2.1.5

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12$

ステップ 12.2.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f (\frac{π}{2}) = - 12$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$y = - 12$

ステップ 13

$x = \frac{3 π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- 12 \cdot 0^{2} + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 12 \cdot 0 + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.4

$- 12$ に $0$ をかけます。

$0 + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 + 12 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 12 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 12 {(- 1)}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$0 + 12 \cdot 1 + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.9

$12$ に $1$ をかけます。

$0 + 12 + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 + 12 + 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 14.1.11

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 12 + 12 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 14.1.12

$12 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.12.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 12 + 12 \cdot - 1$

ステップ 14.1.12.2

$12$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 12 - 12$

ステップ 14.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 14.2.1

$0$ と $12$ をたし算します。

$12 - 12$

ステップ 14.2.2

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

ステップ 15

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 15.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

ステップ 15.2

一次導関数 $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ の区間 $(- \infty, - \frac{π}{2})$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 15.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - 12 \cos (- 4) \sin (- 4) - 12 \cos (- 4)$

ステップ 15.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1.1

$\cos (- 4)$ の値を求めます。

$f' (- 4) = - 12 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 12 \cos (- 4)$

ステップ 15.2.2.1.2

$- 12$ に $- 0.65364362$ をかけます。

$f' (- 4) = 7.84372345 \sin (- 4) - 12 \cos (- 4)$

ステップ 15.2.2.1.3

$\sin (- 4)$ の値を求めます。

$f' (- 4) = 7.84372345 \cdot 0.75680249 - 12 \cos (- 4)$

ステップ 15.2.2.1.4

$7.84372345$ に $0.75680249$ をかけます。

$f' (- 4) = 5.93614947 - 12 \cos (- 4)$

ステップ 15.2.2.1.5

$\cos (- 4)$ の値を求めます。

$f' (- 4) = 5.93614947 - 12 \cdot - 0.65364362$

ステップ 15.2.2.1.6

$- 12$ に $- 0.65364362$ をかけます。

$f' (- 4) = 5.93614947 + 7.84372345$

ステップ 15.2.2.2

$5.93614947$ と $7.84372345$ をたし算します。

$f' (- 4) = 13.77987293$

ステップ 15.2.2.3

最終的な答えは $13.77987293$ です。

$13.77987293$

ステップ 15.3

一次導関数 $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ の区間 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - 12 \cos (0) \sin (0) - 12 \cos (0)$

ステップ 15.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f' (0) = - 12 \cdot (1 \sin (0)) - 12 \cos (0)$

ステップ 15.3.2.1.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (0) = - 12 \sin (0) - 12 \cos (0)$

ステップ 15.3.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f' (0) = - 12 \cdot 0 - 12 \cos (0)$

ステップ 15.3.2.1.4

$- 12$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 12 \cos (0)$

ステップ 15.3.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 1$

ステップ 15.3.2.1.6

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 12$

ステップ 15.3.2.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f' (0) = - 12$

ステップ 15.3.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 15.4

一次導関数 $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ の区間 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ から $3$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = - 12 \cos (3) \sin (3) - 12 \cos (3)$

ステップ 15.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.2.1.1

$\cos (3)$ の値を求めます。

$f' (3) = - 12 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 12 \cos (3)$

ステップ 15.4.2.1.2

$- 12$ に $- 0.98999249$ をかけます。

$f' (3) = 11.87990995 \sin (3) - 12 \cos (3)$

ステップ 15.4.2.1.3

$\sin (3)$ の値を求めます。

$f' (3) = 11.87990995 \cdot 0.14112 - 12 \cos (3)$

ステップ 15.4.2.1.4

$11.87990995$ に $0.14112$ をかけます。

$f' (3) = 1.67649298 - 12 \cos (3)$

ステップ 15.4.2.1.5

$\cos (3)$ の値を求めます。

$f' (3) = 1.67649298 - 12 \cdot - 0.98999249$

ステップ 15.4.2.1.6

$- 12$ に $- 0.98999249$ をかけます。

$f' (3) = 1.67649298 + 11.87990995$

ステップ 15.4.2.2

$1.67649298$ と $11.87990995$ をたし算します。

$f' (3) = 13.55640294$

ステップ 15.4.2.3

最終的な答えは $13.55640294$ です。

$13.55640294$

ステップ 15.5

一次導関数 $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ の区間 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ から $7$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = - 12 \cos (7) \sin (7) - 12 \cos (7)$

ステップ 15.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.2.1.1

$\cos (7)$ の値を求めます。

$f' (7) = - 12 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 12 \cos (7)$

ステップ 15.5.2.1.2

$- 12$ に $0.75390225$ をかけます。

$f' (7) = - 9.04682705 \sin (7) - 12 \cos (7)$

ステップ 15.5.2.1.3

$\sin (7)$ の値を求めます。

$f' (7) = - 9.04682705 \cdot 0.65698659 - 12 \cos (7)$

ステップ 15.5.2.1.4

$- 9.04682705$ に $0.65698659$ をかけます。

$f' (7) = - 5.94364413 - 12 \cos (7)$

ステップ 15.5.2.1.5

$\cos (7)$ の値を求めます。

$f' (7) = - 5.94364413 - 12 \cdot 0.75390225$

ステップ 15.5.2.1.6

$- 12$ に $0.75390225$ をかけます。

$f' (7) = - 5.94364413 - 9.04682705$

ステップ 15.5.2.2

$- 5.94364413$ から $9.04682705$ を引きます。

$f' (7) = - 14.99047118$

ステップ 15.5.2.3

最終的な答えは $- 14.99047118$ です。

$- 14.99047118$

ステップ 15.6

$x = - \frac{π}{2}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - \frac{π}{2}$ は極大値です。

$x = - \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 15.7

$x = \frac{π}{2}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = \frac{π}{2}$ は極小値です。

$x = \frac{π}{2}$ は極小値です

ステップ 15.8

$x = \frac{3 π}{2}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = \frac{3 π}{2}$ は極大値です。

$x = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

ステップ 15.9

$f (x) = 6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$ の極値です。

$x = - \frac{π}{2}$ は極大値です

$x = \frac{π}{2}$ は極小値です

$x = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

$x = - \frac{π}{2}$ は極大値です

$x = \frac{π}{2}$ は極小値です

$x = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例