微分積分例

$f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \cos (2 x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$5 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$5 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.7

$- 2$ に $5$ をかけます。

$- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 \sin (2 x)$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$- 10 \sin (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$- 10 \sin (2 x) - 12 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.7

$2$ に $- 12$ をかけます。

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + 0$

ステップ 1.4.2

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 \sin (2 x)$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$f'' (x) = - 10 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 10 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.2.7

$2$ に $- 10$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 \cos (2 x)$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 2.3.7

$- 2$ に $- 24$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + 48 \sin (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) = 0$

ステップ 4

方程式の各項を $\cos (2 x)$ で割ります。

$\frac{- 10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

ステップ 5

分数を分解します。

$\frac{- 10}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

ステップ 6

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ を $\tan (2 x)$ に変換します。

$\frac{- 10}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

ステップ 7

$- 10$ を $1$ で割ります。

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

ステップ 8

$\cos (2 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

共通因数を約分します。

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

ステップ 8.2

$- 24$ を $1$ で割ります。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

ステップ 9

分数を分解します。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

ステップ 10

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

ステップ 11

$0$ を $1$ で割ります。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0 \sec (2 x)$

ステップ 12

$0$ に $\sec (2 x)$ をかけます。

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0$

ステップ 13

方程式の両辺に $24$ を足します。

$- 10 \tan (2 x) = 24$

ステップ 14

$- 10 \tan (2 x) = 24$ の各項を $- 10$ で割り、簡約します。

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ステップ 14.1

$- 10 \tan (2 x) = 24$ の各項を $- 10$ で割ります。

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

ステップ 14.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$- 10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

ステップ 14.2.1.2

$\tan (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (2 x) = \frac{24}{- 10}$

ステップ 14.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$24$ と $- 10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$\tan (2 x) = \frac{2 (12)}{- 10}$

ステップ 14.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1.2.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

ステップ 14.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

ステップ 14.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\tan (2 x) = \frac{12}{- 5}$

ステップ 14.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\tan (2 x) = - \frac{12}{5}$

ステップ 15

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arctan (- \frac{12}{5})$

ステップ 16

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\arctan (- \frac{12}{5})$ の値を求めます。

$2 x = - 1.1760052$

ステップ 17

$2 x = - 1.1760052$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$2 x = - 1.1760052$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

ステップ 17.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

ステップ 17.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1.1760052}{2}$

ステップ 17.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

$- 1.1760052$ を $2$ で割ります。

$x = - 0.5880026$

ステップ 18

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265)$

ステップ 19

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 19.1

$2 π$ に $- 1.1760052 - (3.14159265)$ をたし算します。

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 19.2

$1.96558744$ の結果の角度は正で $- 1.1760052 - (3.14159265)$ と隣接します。

$2 x = 1.96558744$

ステップ 19.3

$2 x = 1.96558744$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

$2 x = 1.96558744$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

ステップ 19.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

ステップ 19.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1.96558744}{2}$

ステップ 19.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.3.1

$1.96558744$ を $2$ で割ります。

$x = 0.98279372$

ステップ 20

方程式 $2 x = - 1.1760052$ に対する解です。

$x = - 0.5880026, 0.98279372$

ステップ 21

$x = - 0.5880026$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 20 \cos (2 (- 0.5880026)) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

ステップ 22

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$2$ に $- 0.5880026$ をかけます。

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

ステップ 22.2

$2$ に $- 0.5880026$ をかけます。

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (- 1.1760052)$

ステップ 23

$x = - 0.5880026$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 0.5880026$ は極大値です

ステップ 24

$x = - 0.5880026$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

式の変数 $x$ を $- 0.5880026$ で置換えます。

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (2 (- 0.5880026)) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

ステップ 24.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.1

$2$ に $- 0.5880026$ をかけます。

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

ステップ 24.2.1.2

$2$ に $- 0.5880026$ をかけます。

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

ステップ 24.2.2

最終的な答えは $5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$ です。

$y = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

ステップ 25

$x = 0.98279372$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 20 \cos (2 (0.98279372)) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

ステップ 26

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 26.1

$2$ に $0.98279372$ をかけます。

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

ステップ 26.2

$2$ に $0.98279372$ をかけます。

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (1.96558744)$

ステップ 27

$x = 0.98279372$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0.98279372$ は極小値です

ステップ 28

$x = 0.98279372$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.1

式の変数 $x$ を $0.98279372$ で置換えます。

$f (0.98279372) = 5 \cos (2 (0.98279372)) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

ステップ 28.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.2.1.1

$2$ に $0.98279372$ をかけます。

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

ステップ 28.2.1.2

$2$ に $0.98279372$ をかけます。

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

ステップ 28.2.2

最終的な答えは $5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$ です。

$y = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

ステップ 29

$f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ の極値です。

$(- 0.5880026, 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3)$ は極大値です

$(0.98279372, 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3)$ は極小値です

ステップ 30

微分積分 例

微分積分例