微分積分例

$f (x) = 5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

ステップ 1.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ および $g (x) = 6 + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 + 5 x$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

ステップ 1.2.2.2

$n = \frac{2}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $6 + 5 x$ で置き換えます。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $6 + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]))$

ステップ 1.2.4

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [5 x]))$

ステップ 1.2.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1))$

ステップ 1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

ステップ 1.2.8

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

ステップ 1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

ステップ 1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

ステップ 1.2.10.2

$2$ から $5$ を引きます。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

ステップ 1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

ステップ 1.2.12

$5$ に $1$ をかけます。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5))$

ステップ 1.2.13

$0$ と $5$ をたし算します。

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

ステップ 1.2.14

$\frac{2}{5}$ と ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ をまとめます。

$0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

ステップ 1.2.15

$\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ と $5$ をまとめます。

$0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

ステップ 1.2.16

$5$ に $2$ をかけます。

$0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

ステップ 1.2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ を分母に移動させます。

$0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 1.2.18

$5$ を $10$ で因数分解します。

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 1.2.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.19.1

$5$ を $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ で因数分解します。

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

ステップ 1.2.19.2

共通因数を約分します。

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 1.2.19.3

式を書き換えます。

$0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 1.3

$0$ から $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ を引きます。

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ を ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$

ステップ 2.1.2.2

${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot - 1}$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

$\frac{3}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}}$

ステップ 2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- \frac{3}{5}}$ および $g (x) = 6 + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 + 5 x$ とします。

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.2.2

$n = - \frac{3}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} u^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $6 + 5 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.6.2

$- 3$ から $5$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.7.2

${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{{(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$3$ を ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3 \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.7.3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 2.7.4

$\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ と $2$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

ステップ 2.7.5

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

ステップ 2.8

総和則では、 $6 + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))$

ステップ 2.9

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (5 x))$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [5 x]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.11

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.12

項を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$5$ と $\frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.12.2

$5$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{30}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.12.3

$5$ を $30$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$5$ を $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}})} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.13.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.13.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot 1$

ステップ 2.15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

$\frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$

ステップ 2.15.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{6}{{(5 x + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

ステップ 4.1.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ です。

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 4.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ および $g (x) = 6 + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 + 5 x$ とします。

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 4.1.2.2.2

$n = \frac{2}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 4.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $6 + 5 x$ で置き換えます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $6 + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))))$

ステップ 4.1.2.4

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (5 x))))$

ステップ 4.1.2.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} (x))))$

ステップ 4.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.8

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.10.2

$2$ から $5$ を引きます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

ステップ 4.1.2.12

$5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5)))$

ステップ 4.1.2.13

$0$ と $5$ をたし算します。

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

ステップ 4.1.2.14

$\frac{2}{5}$ と ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ をまとめます。

$f' (x) = 0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

ステップ 4.1.2.15

$\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f' (x) = 0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

ステップ 4.1.2.16

$5$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

ステップ 4.1.2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 4.1.2.18

$5$ を $10$ で因数分解します。

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 4.1.2.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.19.1

$5$ を $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ で因数分解します。

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

ステップ 4.1.2.19.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 4.1.2.19.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 4.1.3

$0$ から $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ を引きます。

$f' (x) = - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ です。

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 5.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$

ステップ 6.2

$\frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $5$ 乗します。

${\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}^{5} = 0^{5}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}$ を ${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ に書き換えます。

${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

ステップ 6.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

${(6 + 5 x)}^{3} = 0^{5}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(6 + 5 x)}^{3} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$6 + 5 x$ が $0$ に等しいとします。

$6 + 5 x = 0$

ステップ 6.3.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$5 x = - 6$

ステップ 6.3.3.2.2

$5 x = - 6$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1

$5 x = - 6$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

ステップ 6.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

ステップ 6.3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{5}$

ステップ 6.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{6}{5}$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{6}{5}$

ステップ 8

$x = - \frac{6}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{6}{{(5 (- \frac{6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- \frac{6}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

ステップ 9.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

ステップ 9.1.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{{(- 6 + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

ステップ 9.2

式を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$\frac{6}{0^{\frac{8}{5}}}$

ステップ 9.2.2

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$\frac{6}{{(0^{5})}^{\frac{8}{5}}}$

ステップ 9.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

ステップ 9.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

ステップ 9.3.2

式を書き換えます。

$\frac{6}{0^{8}}$

ステップ 9.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{6}{0}$

ステップ 9.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ の区間 $(- \infty, - \frac{6}{5})$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 + 5 (- 4))}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$5$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 - 20)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 10.2.2.1.2

$6$ から $20$ を引きます。

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 10.2.2.2

最終的な答えは $- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$ です。

$- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 10.3

一次導関数 $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ の区間 $(- \frac{6}{5}, \infty)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 5 (0))}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 0)}^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 10.3.2.1.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = - \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 10.3.2.2

最終的な答えは $- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$ です。

$- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 10.4

$x = - \frac{6}{5}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - \frac{6}{5}$ は極大値です。

$x = - \frac{6}{5}$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例